Produit scalaire
On considère deux vecteurs liés \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) et le plan \(P\) qui les contient.
On appelle produit scalaire des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) le nombre noté \(\overrightarrow{AB}.~\overrightarrow{AC}\) égal au produit des longueurs \(AB\) et \(AC\) par le cosinus de l'angle \(\theta=\left(\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AC}\right)\) des deux vecteurs.
vect AB.vect AC = AB AC cos θ.
Expression avec les projections : On considère la projection orthogonale \(c\) de \(C\) sur \(\overrightarrow{AB}\) . Comme \(\overrightarrow{Ac}=\overrightarrow{AC}~\cos\theta\) , on a donc : \(\overrightarrow{AB}.~\overrightarrow{AC}=\overline{AB}\times\overline{Ac}\)
où \(\overline{AB}\) et \(\overline{Ac}\) désignent les mesures algébriques sur l'axe défini par \(\overrightarrow{AB}\).
Le produit scalaire ne change pas si on remplace les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) par des vecteurs équipollents. Cette notion est donc relative aux vecteurs et dans la suite, nous ne distinguons pas entre vecteurs (libres) et vecteurs liés.
Propriété : Propriétés du produit scalaire
On désigne par \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\),\(\overrightarrow{AD}\) trois vecteurs de l'espace et par \(\gamma\) et \(\Delta\) deux réels quelconques.
Le produit scalaire est commutatif \(\overrightarrow{AB}.~\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.~\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{AB}.~\overrightarrow{AC}= 0\) si et seulement si les deux vecteurs sont perpendiculaires.
\(\overrightarrow{AB}.~\overrightarrow{AC}\) est positif si l'angle \(\theta=\left(\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AC}\right)\) est aigu, négatif si cet angle est obtu.
Le produit scalaire est bilinéaire, c'est-à-dire que l'on a toujours :
\(\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)=\overrightarrow{AB}.~\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}.~\overrightarrow{AD}\)
\(\overrightarrow{AB}.\left(\gamma\overrightarrow{AC}+\delta\overrightarrow{AD}\right)=\gamma\overrightarrow{AB}.~\overrightarrow{AC}+\delta\overrightarrow{AB}.~\overrightarrow{AD}\)
et avec la commutativité :
\(\left(\gamma\overrightarrow{AC}+\delta\overrightarrow{AD}\right).~\overrightarrow{AB}=\gamma\overrightarrow{AC}.~\overrightarrow{AB}+\delta\overrightarrow{AD}.~\overrightarrow{AB}\)
Propriété : Propriétés analytiques du produit scalaire
On considère deux vecteurs \(\vec{V}\) et \(\vec{V'}\) et leurs composantes \((x, y, z)\) et \((x', y', z')\) dans le repère orthonormé d'origine \(O\), et de vecteurs unitaires deux à deux orthogonaux \(\vec{i},\vec{j},\vec{k}.\)
La propriété du repère d'être orthonormé se traduit par les relations :
\(\vec{i}^2=\vec{j}^2=\vec{k}^2=1~~~~et ~~~~\vec{i}.~\vec{j}=\vec{j}.~\vec{k}=\vec{k}.~\vec{i}=0\)
Le produit scalaire permet d'exprimer les composantes des vecteurs :
\(x=\vec{V}.~\vec{i}~ ,~~~~y=\vec{V}.~\vec{j} ~,~~~~ z=\vec{V}.~\vec{k}~,\)
\(x'=\vec{V'}.~\vec{i}~ ,~~~~y'=\vec{V'}.~\vec{j} ~,~~~~ z'=\vec{V'}.~\vec{k}\)
En utilisant les propriétés du produit scalaire, on obtient l'expression du produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{V}\) et \(\vec{V'}\) en fonction de leurs composantes.
\(\vec{V}.~\vec{V'}=xx'+yy'+zz'\)
Applications géométriques
L'équation d'un plan \(P\) passant par \(A\) et orthogonal à \(\vec{U}\), \(A\) point de coordonnées \((a, a', a")\) et \(\vec{U}\) vecteur de composantes \((u, v, w)\), est obtenue en exprimant que le vecteur \(\overrightarrow{AM}\) et orthogonal au vecteur \(\vec{U}\) :
\(u~(x - a) + v~(y - a') + w~(z - a") = 0\)
\(u~x + v~y + w~z = (u~a + v~a' + w~a")\)
Soit \(u~x + v~y + w~z + h = 0\)
avec \(h = -~(u~ a + v~a' +w~a")\)
La distance d'un point \(M_{0}\) au plan \(P\) d'équation \(u~x + v~y + w~z + h = 0\) est déduite de l'expression du produit scalaire \(\vec{U}.~\overrightarrow{AM_{0}}=\overline{U}.~\overline{mM}\), le point m désignant la projection de \(M\) sur le plan \(P\), en utilisant que \(A\) est dans le plan \(P\) :
\(\vec{U}.~\overrightarrow{AM_{0}}=u~(x_{0}- a) + v~(y_{0}- a') + w~(z_{0}- a") =u~x_{0} + v~y_{0} + w~z_{0} + h\)
Donc cette distance \(d(M_0 , P)\) est donnée par :
\(d(M_{0},P)=\frac{|u~x_{0}+v~y_{0}+w~z_{0}+h|}{\sqrt{u^2+v^2+w^2}}\)
Plans \(P\) et \(P'\) perpendiculaires :
Si les deux plans ont pour équations \(u~x + v~y + w~z + h = 0\) et \(u'~x + v'~y + w'~z + h' = 0\),
ils sont orthogonaux, c'est-à-dire si et seulement si :
\(u~u' + v~v' + w~w' = 0\).