Produit vectoriel
Le produit vectoriel de deux vecteurs \(\vec{U}\) et \(\vec{V}\) est un vecteur \(\vec{W}\) qui possède les propriétés suivantes :
Le vecteur \(\vec{W}=\vec{U} \land\vec{V}\) est orthogonal à \(\vec{U}\) et à \(\vec{V}\). Il est donc porté par la normale au plan vectoriel défini par ces deux vecteurs.
Le trièdre \(\left(\vec{U}, \vec{V}, \vec{W}\right)\) est direct. Le vecteur \(\vec{W}\) dépend donc de l'orientation de l'espace.
La longueur du vecteur \(\vec{W}=\vec{U} \land\vec{V}\) est donnée, si \(\theta\) est l'angle des deux vecteurs\( \vec{W} ~et~ \vec{V}\) par
\(||\vec{W}||=||\vec{U}||\times||\vec{V}||\times\sin \theta\)
Cette longueur est égale à l'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs \(\vec{U}\) et \(\vec{V}\).
Interprétation géométrique Le produit vectoriel \(\vec{W}\) peut être obtenu géométriquement par la suite des opérations suivantes :
on projette le vecteur \(\vec{V}\) suivant le vecteur \(\vec{V'}\) sur le plan \(Q\) normal au vecteur \(\vec{U}\). La longueur de \(\vec{V'}\) est\( ||\vec{V'}||=||\vec{V}||\times\sin \theta\)
on fait une rotation d'axe \(\vec{U}\) et d'angle \(\frac{\pi}{2}\) dans le sens direct. Le vecteur \(\vec{V'}\) a pour image \(\vec{W}\).
Propriété :
En utilisant cette idée, on montre les propriétés de linéarité et de distributivité du produit vectoriel.
Pour tous les vecteurs \(\vec{U}, \vec{V}, \vec{U'},\vec{V'}\) et tout scalaire \(\alpha\), on a :
Le produit vectoriel se change en son opposé si on commute les deux vecteurs : \(\vec{U} \land\vec{V}=-~\vec{V} \land\vec{U}\)
Le produit vectoriel est linéaire par rapport à chacun de vecteurs, ce qui implique
\(\vec{U} \land\alpha\vec{V}=\alpha\left(\vec{U} \land\vec{V}\right)\)
\(\left(\alpha\vec{U} \right)\land\vec{V}=\alpha\left(\vec{U} \land\vec{V}\right)\)
\(\vec{U} \land\left(\vec{V}+\vec{V'}\right)= \vec{U} \land\vec{V}+\vec{U} \land\vec{V'}\)
\(\left(\vec{U}+\vec{U'}\right)\land\vec{V}= \vec{U} \land\vec{V}+\vec{U'} \land\vec{V}\)
Le produit vectoriel est nul si et seulement si les deux vecteurs sont colinéaires, (cela englobe le cas où un des vecteurs est nul).
Propriété : Propriétés analytiques du produit vectoriel
La propriété du repère \((O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})\)d'être orthonormé de sens direct se traduit par les relations :
\(\vec{i} \land\vec{j}=\vec{k}~ ,~~~~\vec{j} \land\vec{k}=\vec{i} ~,~~~~\vec{k} \land\vec{i}=\vec{j}\)
\(\vec{j} \land\vec{i}=-\vec{k}~ ,~~~~\vec{k} \land\vec{j}=-\vec{i} ~,~~~~\vec{i} \land\vec{k}=-\vec{j}\)
\(\vec{i} \land\vec{i}=\vec{j} \land\vec{j}=\vec{k} \land\vec{k}=0\)
On considère deux vecteurs \(\vec{V}\) et \(\vec{V'}\) et leurs composantes \((x, y, z)\) et \((x', y', z')\) dans le repère orthonormé \((O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})\). Les composantes du vecteur \(\vec{W}=\vec{V} \land\vec{V'}\) se calculent à l'aide des formules précédentes :
\(\vec{W}=\vec{V} \land\vec{V'}=(x~\vec{i}+y~\vec{j}+z~\vec{k})\land(x~'\vec{i}+y'~\vec{j}+z'~\vec{k})\)
\(\vec{W}=\vec{V} \land\vec{V'}=(y~z'-z~y')~\vec{i}+(z~x'-x~z')~\vec{j}+(x~y'-y~x')~\vec{k}\)
Ces formules sont très utiles pour obtenir la direction normale au plan vectoriel défini par deux vecteurs ou pour obtenir la direction de l'intersection de deux plans.