Exercice n°1
Partie
Question
Résoudre les systèmes :
\(\left\{ \begin{array}{lll} x-y+z+2t+3u &=& 0 \\ x+5z-t+2u &=& 0\\-3x+2y-7z-3t-8u &=& 0 \\ -x+3y+7z-8t-5u&=& 0\end{array}\right.~~(1)\)
et
\(\left\{ \begin{array}{lll} x-y+z+2t+3u &=& a \\ x+5z-t+2u &=& b\\-3x+2y-7z-3t-8u &=& c \\ -x+3y+7z-8t-5u&=& d \end{array}\right.~~(2)\)
Aide simple
Nous sommes amenés à trianguler deux systèmes linéaires qui ne diffèrent que par les seconds membres. Il sera donc économique de trianguler seulement le deuxième système, l'étude du premier pouvant se faire alors en prenant le cas particulier \(a = b = c = d = 0.\)
Aide détaillée
Nous commençons donc par trianguler le système
\(\left\{ \begin{matrix} x & - & y & + & z & + & 2t & + & 3u &=a \\x && & + & 5z & - & t & + & 2u &= b \\ -3x &+& 2y & - & 7z & - & 3t & - & 8u &= c \\-x & +& 3y & + & 7z & - & 8t & - & 5u &= d \end{matrix}\right .~~~~(1)\)
ce qui donne
\(\begin{array}{lllllllll|ll} x && y && z && t && u \\ \hline 1&& -1 && 1 && 2 && 3 && a\\ 0 && 1 && 4 && -3 && -1 && b-a \\ 0 && 0 && 0 && 0 && 0 && c+2a+b \\0 && 0 && 0 && 0 && 0 && d+3a-2b \end{array} \qquad (2)\)
Solution détaillée
Solutions du système homogène
Nous sommes dans le cas où \(a = b = c = d = 0\). Nous obtenons une base de l'espace \(E\) de solutions dont nous connaissons des équations en terminant le calcul des solutions de (2) :
\((x, y, z, t, u) = \left ( - 5z + t - 2u, - 4z + 3t + u, z, t, u \right)\)
\(\left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ t \\ u \end{array} \right )=\left ( \begin{array}{c} -5z+t-2u \\ -4z+3t+u \\ z \\ t \\ u \end{array} \right )\)
\(\left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ t \\ u \end{array} \right )=z ~\left ( \begin{array}{cc} 5 \\ -\, 4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right )+t~\left ( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right )+u~\left ( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right )\)
ce qui donne la base \(B = \left \{ (- 5, - 4, 1, 0, 0)~, ~(1, 3, 0, 1, 0)~,~ (- 2, 1, 0, 0, 1) \right \} \). Par ailleurs, le système \((2)\) montre que cet espace de solutions peut être défini par les deux équations : \(x - y + z + 2t + 3u = 0\) et \(y + 4z - 3t - u = 0\). Un système de moins de deux équations ne peut caractériser l'espace \(E\) de solutions. En effet en triangulant un tel système (toujours possible puisque les seconds membres sont nuls) la diagonale aurait moins de deux termes, et on pourrait calculer les inconnues en fonction de plus de trois d'entre elles. Ce qui donnerait une base de l'espace \(E\) de solutions ayant plus de trois vecteurs. Or c'est impossible puisque nous savons déjà que la dimension de l'espace \(E\) est 3 : nous avons trouvé une base ayant trois vecteurs.
Nous revenons donc à sa triangulation \((2)\). Elle nous donne des conditions de possibilité :
\(c + 2a + b = 0 ~~et ~~d + 3a - 2b = 0\)
Si ces conditions ne sont pas vérifiées, le système est impossible. Si elles sont vérifiées, on en tire les solutions :
\(\left ( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ t \\ u \end{array} \right )=\left ( \begin{array}{cc} b \\ b-a \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right )+z ~\left ( \begin{array}{cc} 5 \\ -\, 4 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right )+t~\left ( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right )+u~\left ( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right )\)