Exercice n°3
Partie
Question
On considère les vecteurs de \(\mathrm{I\!R^4}\)
\(V_1 = (1, 1, - 3, - 1)~, \\ V_2 = ( - 1, 0, 2, 3)~, \\ V_3 = (1, 5, - 7, 7)~, \\ V_4 = (2, - 1, - 3, - 8)~,\\ V_5 =(3, 2, - 8, - 5)~.\)
Sont-ils linéairement indépendants ? Sinon, trouver toutes les relations de dépendance entre eux. Extraire de cette famille une famille libre ayant le maximum de vecteurs.
Aide simple
Lorsque l'on étudie les propriétés d'une famille de vecteurs, il vaut mieux les écrire ainsi :
\(V_1=\left ( \begin{array}{l} ~~1 \\~~ 1 \\ -3 \\ -1 \end{array} \right ) ,V_2=\left ( \begin{array}{lll} -1 \\ ~~0 \\~~2 \\~~ 3 \end{array} \right ),V_3=\left ( \begin{array}{lll} ~~1 \\ ~~5 \\ -7 \\ ~~7 \end{array} \right ),V_4=\left ( \begin{array}{l} ~~2 \\ -1 \\ -3 \\ -8 \end{array} \right ),V_5=\left ( \begin{array}{ll} ~~3 \\ ~~2 \\ -8 \\-5 \end{array} \right )\)
Aide détaillée
Pour voir si une famille de vecteurs est une famille génératrice, on cherche à quelles conditions un vecteur \(U = (a, b, c, d)\) de \(\mathrm{I\!R^4}\) appartient au sous-espace qu'ils engendrent.
\(x~\left ( \begin{array}{l} ~~1 \\~~ 1 \\ -3 \\ -1 \end{array} \right )+y~\left ( \begin{array}{lll} -1 \\ ~~0 \\~~2 \\~~ 3 \end{array} \right ) +z~\left ( \begin{array}{l} ~~1 \\ ~~5 \\ -7 \\ ~~7 \end{array} \right ) +t~\left ( \begin{array}{l} ~~2 \\ -1 \\ -3 \\ -8 \end{array} \right )+u ~\left ( \begin{array}{ll} ~~3 \\ ~~2 \\ -8 \\-5 \end{array} \right ) =\left ( \begin{array}{l} a \\b \\c \\ d \end{array} \right )\)
et on est amené ici à résoudre le système de l'exercice 1. On utilise donc les solutions obtenues et en les interprétant dans le cadre de ce problème.
Solution détaillée
Les solutions du système ont été obtenues à l'exercice 1.
\(B = \left \{ (- 5, - 4, 1, 0, 0)~, ~(1, 3, 0, 1, 0)~,~ (- 2, 1, 0, 0, 1) \right \}\)
Cela veut dire qu'on peut trouver trois relations de dépendance linéaire entre ces vecteurs, et que toutes les autres relations sont des combinaisons linéaires de celles-là.
Ce sont les relations :
\(- 5V_1 - 4V_2 + V_3 = 0, ~~~~ V_1 + 3V_2 + V_4 = 0,~~~~ - 2V_1 + V_2 + V_5 = 0\)
Ces relations permettent de calculer les trois derniers vecteurs en fonction des deux premiers ; ceux-ci ne sont pas colinéaires. \(V_1\) et \(V_2\) forment donc une famille libre maximale extraite de la famille donnée.
La résolution du système nous donne des conditions de possibilité :
\(2a + b + c = 0~~ et~~ 3a - 2b + d = 0\)
Si ces conditions ne sont pas vérifiées, le système est impossible.
La famille de vecteurs n'est donc pas génératrice et ces conditions de possibilité s'interprètent comme des équations du sous-espace engendré par les \(V_i\). On a donc deux équations qu'on peut écrire
\(\left \{ \begin{matrix} 2X & + & Y & + & 2Z & = ~0 \\ 3X & - & 2Y & + &T & = ~0 \end{matrix}\right .\)
On a vu précédemment que \(V_1 ~et~ V_2\) étaient indépendants. On peut calculer \(V_3, V_4 ~et~ V_5\) en fonction de ces deux vecteurs. Toutes les combinaisons linéaires des cinq vecteurs se ramènent à des combinaisons linéaires des deux premiers vecteurs qui forment donc une base du sous-espace engendré par les cinq vecteurs.