Intégrale de Riemann

Si \(f\) est une fonction monotone sur un intervalle \([a , b]\) , alors \(f\) est intégrable sur \([a , b]\).

elle repose sur le fait que, la fonction étant monotone, maximum et minimum sur chaque intervalle de la subdivision sont atteints aux bornes.

On suppose \(f\) croissante sur \([a , b]\), on a

\(\displaystyle{{m_i=f(x_{i-1})\textrm{ et }M_i=f(x_i)\quad(i=1,2,....n)}}\)

d'où

\(\displaystyle{S(\sigma_n)-s(\sigma_n)=(\frac{b-a}{n})(\displaystyle{\sum_{i-1}^nf(x_i)-\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)})=(\frac{b-a}{n})(f(b)-f(a))}\)

En prenant alors un entier \(N\) vérifiant \(\displaystyle{N>\frac{(b-a)}{\epsilon}|f(b)-f(a)|}\), on a pour \(n > N\) :

\(\displaystyle{0< S(\sigma_n)-s(\sigma_n)<\epsilon}\).

Ainsi la fonction monotone \(f\) définie par\(\displaystyle{f:[0,1]\to \mathbb R, \forall x\in[0,1] f(x)=0\textrm{ et }f(1)=1}\) est intégrable et son intégrale vaut de façon évidente \(0\).