Autres exemples de fonctions intégrables

Exemple d'une fonction intégrable, ni continue, ni monotone.

On retrouve la fonction \(x\to\sin\left(\frac{1}{x}\right)\) prolongée, par exemple par \(0\) en \(0\). Sur l'intervalle \([0 , 1]\) cette fonction n'est ni continue ni monotone, mais en revanche elle est continue sur tout intervalle \([a , 1]\) , quel que soit \(a > 0\).

Preuve

Soit \(\epsilon\) vérifiant \(0< \epsilon< 1\); on considère les intervalles \([0,\epsilon]\textrm{ et }[\epsilon,1]\). La fonction \(\displaystyle{x\to\sin\left(\frac{1}{x}\right)}\) étant intégrable sur \([\epsilon , 1]\) il existe une subdivision \(\sigma'\) de \([\epsilon, 1]\) telle qu'on ait \(\displaystyle{{S(\sigma')-s(\sigma')<\epsilon}}\).

Considérons maintenant la subdivision \(\sigma = \{0\} U \sigma'\) . On a

\(\displaystyle{S(\sigma)=\epsilon+S(\sigma')\textrm{ et }s(\sigma)=-\epsilon+s(\sigma')}\).

D'où finalement :

\(\displaystyle{S(\sigma)-s(\sigma)\leq3\epsilon}\).

Propriété

Si \(f\) est une fonction intégrable sur l'intervalle \([a , 1]\), alors \(| f |\) est intégrable sur l'intervalle \([a , 1]\).

C'est évident si \(f\) est continue, dans le cas général on revient aux sommes de Darboux.