Intégrale de Riemann

On pose : \(\displaystyle{x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\quad f(x)=\sin x-\frac{2x}{\pi}}\) et \(g(x)=x-\sin x\)

d'où \(\displaystyle{f'(x)=\cos x-\frac{2}{\pi}}\) et \(g'(x)=1-\cos x\)

La fonction \(g\) est croissante sur l’intervalle \(\displaystyle{\left[0,\frac{\pi}{2}\right]}\) et comme \(g(0) =0\), elle est positive sur cet intervalle. La fonction \(f\) croît puis décroît sur \(\displaystyle{\left[0,\frac{\pi}{2}\right]}\) et comme elle est nulle aux extrémités elle reste positive. On en déduit les inégalités 1.

[3 points]

On a donc \(\displaystyle{\forall t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\quad\frac{2t}{\pi}\le\sin t\le t}\), d’où en intégrant sur l’intervalle \([0,x]\) :

\(\displaystyle{\int_0^x\frac{2t}{\pi}dt\le\int_0^x\sin t~dt\le\int_0^xt~dt}\)

soit \(\displaystyle{\frac{x^2}{\pi}\le1-\cos x\le1-\frac{x^2}{2}}\)

c’est-à-dire les inégalités 2.

[2 points]

On a donc : \(\displaystyle{\forall t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\quad1-\frac{t^2}{2}\le\cos t\le1-\frac{t^2}{\pi}}\)

d’où en intégrant sur l’intervalle \([0,x]\) : \(\displaystyle{\int_0^x\left(1-\frac{t^2}{2}\right)dt\le\int_0^x\cos t~dt\le\int_0^x\left(1-\frac{t^2}{\pi}\right)dt}\)

soit \(\displaystyle{x-\frac{x^3}{6}\le\sin x\le x-\frac{x^3}{3\pi}}\)

c’est-à-dire les inégalités 3.

[2 points]

On a donc : \(\displaystyle{\forall t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\quad t-\frac{t^3}{6}\le\sin t\le t-\frac{t^3}{3\pi}}\),

d’où en intégrant sur l’intervalle \([0,x]\) : \(\displaystyle{\int_0^x\left(t-\frac{t^3}{6}\right)dt\le\int_0^x\sin t~dt\le\int_0^x\left(t-\frac{t^3}{3\pi}\right)dt}\)

soit \(\displaystyle{1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{12\pi}\le\cos x\le1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}}\)

c’est-à-dire les inégalités 4.

[2 points]