Exercice 2

Durée : 25 mn

Note maximale : 12

Question

Soit \(f\) une fonction définie et continue sur \(]0,+\infty[\);

on pose : \(\displaystyle{\forall x>0\quad F(x)=\int_x^{3x}\frac{f(t)}{t}dt}\).

  1. Montrer que \(F\) est dérivable \(]0,+\infty[\) sur et calculer \(F’\).

    Déterminer \(F\) dans les deux cas suivants

    a. \(\displaystyle{f(t)=\frac{1}{t}}\)

    b. \(f(t)=1\)

  2. Dans la suite on suppose \(f(t)=\cos t\).

    a. Déterminer le signe de \(\displaystyle{F\left(\frac{\pi}{6}\right)}\) et \(\displaystyle{F\left(\frac{\pi}{2}\right)}\).

    b. Montrer que : \(\forall x>0\quad|F(x)|\le\ln~3\).

    c. Montrer que \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\int_x^{3x}\sin t~\ln t~dt=0}\).

    d. En déduire que la fonction \(F\) a une limite pour \(x\) tendant vers \(0\).

Solution

  1. La fonction \( \displaystyle{x\mapsto\frac{f(x)}{x}}\) est continue sur l’intervalle \(]0,+\infty[\), elle est donc intégrable sur tout intervalle \([x,3x]\), \((x>0)\).

    On pose \(\displaystyle{\Phi(x)=\int_1^x\frac{f(t)}{t}dt}\) ; la fonction \(f\) est dérivable et \(\displaystyle{\Phi'(x)=\frac{f(x)}{x}}\).

    De l'égalité \(F(x)=\Phi(3x)-\Phi(x)\), on déduit \(\displaystyle{F'(x)=3\Phi'(3x)-\Phi'(x)=\frac{f(3x)}{x}-\frac{f(x)}{x}}\).

    [3 points]

    a. Si \(\displaystyle{f(t)=\frac{1}{t}}\) alors \(\displaystyle{F(t)=\int_x^{3x}\frac{dt}{t^2}=\frac{1}{x}-\frac{1}{3x}=\frac{2}{3x}}\).

    [1 point]

    b. Si \(f(t)=1\) alors \(\displaystyle{F(x)=\int_x^{3x}\frac{dt}{t}=\ln~3}\).

    [1 point]

  2. a. On a \(\displaystyle{F\left(\frac{\pi}{6}\right)=\int_{\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{2}}\frac{\cos t}{t}dt}\) et \(\displaystyle{F\left(\frac{\pi}{2}\right)=\int_{\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{3\pi}{2}}\frac{\cos t}{t}dt}\). La fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{\cos x}{x}}\) est positive ou nulle sur l’intervalle \(\displaystyle{\left[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right]}\) et négative ou nulle sur l’intervalle \(\displaystyle{\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]}\). D’où \(\displaystyle{F\left(\frac{\pi}{6}\right)>0}\) et \(\displaystyle{F\left(\frac{\pi}{2}\right)<0}\).

    [2 points]

    b. L’inégalité \(\displaystyle{\forall x\in\mathbb R\quad|\cos x|\le1}\) entraîne \(\displaystyle{|F(x)|\le\int_x^{3x}\frac{dt}{t}=\ln~3}\).

    [1 point]

    c. La fonction \(x\mapsto\sin x~\ln x\) est prolongeable par continuité en \(0\) car l’égalité classique \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}x\ln x=0}\), entraîne, compte tenu du fait qu’on a, pour tout \(x\) réel, \(|\sin x|\le|x|\) :

    \(\displaystyle{\forall\epsilon>0,\exists\eta>0,\forall t>0~~(|t|<\eta\Rightarrow|\sin t~\ln t|<\epsilon)}\),

    on prolonge donc la fonction par \(0\) en \(0\).

    On en déduit, pour \(\displaystyle{0<x<\eta\quad\left|\int_x^{3x}\sin t~\ln t~dt\right|<\epsilon\int_x^{3x}dt=2\epsilon\eta}\),

    d’où \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\int_x^{3x}\sin t~\ln t~dt=0}\).

    Remarque : on peut aussi appliquer la formule de la moyenne, ce qui évite le recours à l'epsilon.

    [2 points]

    d. Une intégration par parties conduit à l’égalité : \(\displaystyle{\int_x^{3x}\frac{\cos t}{t}dt=\left[\cos t~\ln t\right]_x^{3x}+\int_x^{3x}\sin t~\ln t~dt}\)

    Le premier terme s’écrit :

    \(\begin{array}{lll}\displaystyle{\cos~3x\ln~3x-\cos x\ln x }&=&\displaystyle{\cos~3x~\ln~3+\cos~3x~\ln x-\cos x~\ln x}\\&=&\displaystyle{\cos~3x~\ln~3+\ln~x~(\cos~3x-\cos x)}\end{array}\).

    [2 points]

    On a :\( \displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\cos~3x~\ln~3=\ln~3}\),

    et \(\displaystyle{\cos~3x-\cos x=\frac{8x^2}{2}+x^2\epsilon(x)}\) avec \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\epsilon(x)=0}\), d’où \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}(\cos~3x-\cos x)\ln x=0}\) et donc

    \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}F(x)=\ln~3}\).

    [1 point]