Exemples de calcul d'intégrales impropres

L’intégrale est divergente.

La fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{e^{\sin x}}{x}}\) est continue sur l’intervalle \([1,+\infty[\), elle est donc localement intégrable sur cet intervalle.

[0.5 point]

On a, pour tout \(x\) vérifiant \(x\ge1\), \(\displaystyle{\frac{e^{\sin x}}{x}\ge\frac{e^{-1}}{x}>0}\), et l’intégrale \(\displaystyle{\int_{1}^{+\infty}\frac{dt}{t}}\) est divergente.

[1 point]

Il en est donc de même de l’intégrale \(\displaystyle{\int_{1}^{+\infty}\frac{e^{\sin t}}{t}dt}\).

[0.5 point]