Exercice 3
Durée : 6 mn
Note maximale : 5
Question
Étudier la nature de l'intégrale impropre \(\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{\ln t\ln(1-t)}{t}dt}\)
Utiliser un équivalent de la fonction au voisinage de \(1\).
Solution
L’intégrale est convergente.
La fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{\ln x\ln(1-x)}{x}}\) est continue donc localement intégrable sur l’intervalle \(]0,1[\) où elle est positive.
[0.5 point]
Quand \(x\) tend vers \(0\), on a \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(1-x)}{x}=-1}\) et donc \(\displaystyle{\frac{\ln x\ln(1-x)}{x}\sim-\ln x}\). L’intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{1}\ln t~dt}\) étant convergente, il en est de même de l’intégrale considérée pour la borne \(0\).
[1 point]
Quand \(x\) tend vers \(1\), \(\displaystyle{\frac{\ln x\ln(1-x)}{x}\sim\ln x\ln(1-x)}\). Pour étudier le comportement de la fonction au voisinage de \(1\), on pose : \(u=1-x\). On est amené à étudier \(\ln u\ln(1-u)\) au voisinage de \(0\).
[1 point]
On a donc \(\displaystyle{\lim_{u\rightarrow0}u\ln u=0}\). La fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{\ln x\ln(1-x)}{x}}\) est prolongeable par continuité en \(1\), et il n’y a pas au voisinage de cette borne de problème de convergence.
[2 points]
En conclusion, l’intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{\ln t\ln(1-t)}{t}dt}\) est convergente.
[0.5 point]