Exercice 1
Partie
Question
Étude de l’intégrale impropre \(\displaystyle{\int_{1}^{+\infty}\frac{dt}{t^{E(t)}}}\), où \(E\) désigne la fonction partie entière, définie pour tout \(x\) réel, par : \(E(x)\in\mathbb R\) et \(E(x)\le x<E(x)+1\).
Aide simple
On pourra majorer la fonction à intégrer.
Solution détaillée
La fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{1}{x^{E(x)}}}\) est une fonction positive, continue par morceaux sur l’intervalle \([1,+\infty[\). Elle est donc localement intégrable sur \([1,+\infty[\).
Pour tout \(x\ge2\), on a \(E(x)\ge2\), et donc \(\displaystyle{0<\frac{1}{x^{E(x)}}\le\frac{1}{x^2}}\). Comme l’intégrale \(\displaystyle{\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^2}}\) est convergente, il en est de même de l’intégrale \(\displaystyle{\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^{E(t)}}}\).
Conclusion : l’intégrale \(\displaystyle{\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^{E(t)}}}\) est donc convergente.