Exercice 2
Partie
Étude des intégrales impropres
Question
\(\displaystyle{\int_{\tfrac{2}{\pi}}^{+\infty}\ln\left(\sin\left(\frac{1}{t}\right)\right)dt}\)
Aide simple
vérifier que la fonction à intégrer est bien définie,
déterminer les points ou bornes de l’intervalle d’intégration qui posent un problème d’intégration,
pour l’étude de ces problèmes, on pourra utiliser des équivalents.
On rappelle (et on peut s'exercer à le redémontrer) que si deux fonctions \(f\) et \(g\) infiniment grandes (resp. petites) et positives sont équivalentes, les fonctions \(\ln f\) et \(\ln g\) sont équivalentes. Ceci est faux pour d'autres fonctions comme l'exponentielle.
Solution détaillée
La fonction \(\displaystyle{x\mapsto\ln\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)}\) est définie et continue sur l’intervalle \(\displaystyle{\left[\frac{2}{\pi},+\infty\right[}\) sur lequel elle est donc localement intégrable.
Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), la fonction \(\displaystyle{x\mapsto\ln\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)}\) tend vers \(-\infty\).
Conclusion : l’intégrale \(\displaystyle{\int_{\tfrac{2}{\pi}}^{+\infty}\ln\left(\sin\left(\frac{1}{t}\right)\right)dt}\) est donc divergente.
Question
\(\displaystyle{\int_{\tfrac{2}{\pi}}^{+\infty}\ln\left(\cos\left(\frac{1}{t}\right)\right)dt}\)
Aide simple
vérifier que la fonction à intégrer est bien définie,
déterminer les points ou bornes de l’intervalle d’intégration qui posent un problème d’intégration,
pour l’étude de ces problèmes, on pourra utiliser des équivalents.
On rappelle (et on peut s'exercer à le redémontrer) que si deux fonctions \(f\) et \(g\) infiniment grandes (resp. petites) et positives sont équivalentes, les fonctions \(\ln f\) et \(\ln g\) sont équivalentes. Ceci est faux pour d'autres fonctions comme l'exponentielle.
Solution détaillée
La fonction \(\displaystyle{x\mapsto\ln\left(\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)}\) est définie et continue sur l’intervalle ouvert \(\displaystyle{\left]\frac{2}{\pi},+\infty\right[}\) sur lequel elle est donc localement intégrable. Quand \(x\) tend vers \(\displaystyle{\frac{2}{\pi}}\), elle tend vers \(-\infty\). Il est donc nécessaire d’étudier séparément les deux intégrales \(\displaystyle{\int_{\tfrac{2}{\pi}}^1\ln\left(\cos\left(\frac{1}{t}\right)\right)dt}\) et \(\displaystyle{\int_1^{+\infty}\ln\left(\cos\left(\frac{1}{t}\right)\right)dt}\).
Étude de \(\displaystyle{\int_{\tfrac{2}{\pi}}^1\ln\left(\cos\left(\frac{1}{t}\right)\right)dt}\)
Au voisinage de \(\displaystyle{\frac{2}{\pi}}\) on a :
\(\displaystyle{\cos\left(\frac{1}{x}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{x}\right)\sim\frac{\pi}{2}-\frac{1}{x}}\) soit \(\displaystyle{\cos\left(\frac{1}{x}\right)\sim\frac{\pi}{2x}\left(x-\frac{2}{\pi}\right)}\).
On en déduit : \(\displaystyle{\ln\left(\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)\sim\ln\left(x-\frac{2}{\pi}\right)}\) quand \(x\) tend vers \(\displaystyle{\frac{2}{\pi}}\) (car \(\displaystyle{\ln\left(\frac{\pi}{2x}\right)}\) tend vers \(0\)) (voir rappel).
Or, l'intégrale \(\displaystyle{\int_0^1\ln t~dt}\) est convergente. L'intégrale \(\displaystyle{\int_{\tfrac{2}{\pi}}^1\ln\left(\cos\left(\frac{1}{t}\right)\right)dt}\) est donc convergente.
Rappel :
On rappelle (et on peut s'exercer à le redémontrer) que si deux fonctions \(f\) et \(g\) infiniment grandes (resp. petites) et positives sont équivalentes, les fonctions \(\ln f\) et \(\ln g\) sont équivalentes. Ceci est faux pour d'autres fonctions comme l'exponentielle.
Étude de l’intégrale \(\displaystyle{\int_{1}^{+\infty}\ln\left(\cos\left(\frac{1}{t}\right)\right)dt}\)
Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), on a : \(\displaystyle{\cos\left(\frac{1}{x}\right)=1-\frac{1}{2x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)}\) et donc \(\displaystyle{\ln\left(\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)\sim-\frac{1}{2x^2}}\). La fonction \(\displaystyle{x\mapsto\ln\left(\cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)}\) étant négative, et l'intégrale \(\displaystyle{\int_{1}^{+\infty}\frac{dt}{t^2}}\) convergente, l'intégrale \(\displaystyle{\int_{1}^{+\infty}\ln\left(\cos\left(\frac{1}{t}\right)\right)dt}\) est convergente.
Conclusion : l'intégrale \(\displaystyle{\int_{\tfrac{2}{\pi}}^{+\infty}\ln\left(\cos\left(\frac{1}{t}\right)\right)dt}\) est convergente.