Exercice 1
Partie
On considère les intégrales \(\displaystyle{\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\ln(\sin t)dt}\) et \(\displaystyle{\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\ln(\cos t)dt}\).
Question
Montrer que ces intégrales sont convergentes et ont même valeur.
Solution détaillée
Dans un cas comme dans l’autre, il s’agit de l’intégrale d’une fonction non bornée sur un intervalle borné. La fonction \(x\mapsto\ln(\sin x)\) est définie et continue sur l’intervalle \(\displaystyle{\left]0,\frac{\pi}{2}\right]}\), sur lequel elle est donc localement intégrable. La fonction \(x\mapsto\ln(\cos x)\) est définie et continue sur l’intervalle \(\displaystyle{\left[0,\frac{\pi}{2}\right[}\), sur lequel elle est donc localement intégrable. Les deux fonctions gardent un signe constant négatif sur l’intervalle considéré.
Étude de l’intégrale \(\displaystyle{\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\ln(\sin t)dt}\)
Quand \(x\) tend vers \(0\), on a \(\sin x\sim x\), d'où l'on déduit : \(\ln(\sin x)\sim\ln x\). (voir rappel).
L 'intégrale \(\displaystyle{\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\ln(\sin t)dt}\) est de même nature que l'intégrale \(\displaystyle{\int_0^1\ln t~dt}\), c'est-à-dire convergente.
Rappel :
On rappelle une fois encore, mais ce qui va sans dire va encore mieux en étant dit, que si deux fonctions \(f\) et \(g\) infiniment grandes (resp. petites) et positives sont équivalentes, les fonctions \(\ln f\) et \(\ln g\) sont équivalentes. C’est faux pour d’autres fonctions que le logarithme, l’exponentielle par exemple.
Étude de l’intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\ln(\cos t)dt}\)
Considérons l’intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}-x}\ln(\cos t)dt}\) définie . En faisant le changement de variable \(\displaystyle{u=\frac{\pi}{2}-t}\), on obtient l’intégrale \(\displaystyle{\int_x^{\tfrac{\pi}{2}-x}\ln(\sin u)~du}\). D’après ce qui précède, cette intégrale a une limite quand \(x\) tend vers \(0\). Il en est donc de même pour l’intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}-x}\ln(\cos t)~dt}\) et les deux limites sont égales.
Question
Calculer la valeur de ces intégrales.
Solution détaillée
En posant \(\displaystyle{I=\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\ln(\sin t)~dt}\), on peut écrire, puisque les deux intégrales sont convergentes et de même valeur, l’égalité :
\(\displaystyle{2I=\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\ln(\sin t)~dt+\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\ln(\cos t)~dt=\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\ln(\sin t\cos t)~dt}\).
D’où : \(\displaystyle{2I=\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}(\ln(\sin(2t))-\ln~2)~dt=-\frac{\pi\ln~2}{2}+\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\ln(\sin(2t))~dt}\).
D’après cette égalité, l’intégrale \(\displaystyle{\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\ln(\sin(2t))~dt}\) est nécessairement convergente. On pose \(u=2t\). L’intégrale \(\displaystyle{\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\ln(\sin(2t))~dt}\) devient \(\displaystyle{\frac{1}{2}\int_0^{\pi}\ln(\sin u)~du=\frac{1}{2}\left(\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\ln(\sin u)~du+\int_{\tfrac{\pi}{2}}^{\pi}\ln(\sin u)~du\right)}\).
Le changement de variable \(v=\pi-u\) dans la seconde intégrale conduit à l’égalité : \(\displaystyle{\int_{\tfrac{\pi}{2}}^{\pi}\ln(\sin u)~du=-\int_{\tfrac{\pi}{2}}^0\ln(\sin v)~dv=\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\ln(\sin v)~dv}\).
D’où l’égalité \(\displaystyle{2I=-\frac{\pi}{2}\ln~2+I}\), et donc \(\displaystyle{I=-\frac{\pi}{2}\ln~2}\).