Exemples de calcul d'intégrales impropres

L'intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\frac{f(at)-f(bt)}{t}dt}\) est convergente et vaut \(\displaystyle{(f(0)-L)\ln\frac{b}{a}}\).

La fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{f(ax)-f(bx)}{x}}\) est continue donc localement intégrable sur l’intervalle \(]0,+\infty[\).

On étudie séparément les intégrales \(\displaystyle{J=\int_0^1\frac{f(at)-f(bt)}{t}dt}\) et \(\displaystyle{K=\int_1^{+\infty}\frac{f(at)-f(bt)}{t}dt}\).

• Étude de l’intégrale \(\displaystyle{J=\int_0^1\frac{f(at)-f(bt)}{t}dt}\)

  Pour tout \(x\) vérifiant \(0<x<1\), en faisant les changements de variable \(u=at\) et \(u=bt\), on obtient : \(\displaystyle{J(x)=\int_{ax}^a\frac{f(u)}{u}du-\int_{bx}^b\frac{f(u)}{u}du=\int_{ax}^{bx}\frac{f(u)}{u}du-\int_a^b\frac{f(u)}{u}du}\).

  Soit \(\epsilon>0\). Comme la fonction \(f\) est continue en \(0\), il existe \(h>0\) tel que : \(\forall u\in[0,h],~|f(u)-f(0)|<\epsilon\).

  Posons \(\displaystyle{\alpha=\min\left(1,\frac{h}{b}\right)}\). Alors \(\alpha\) est strictement positif, et on a pour tout \(x\in]0,\alpha]\) :

  \(\displaystyle{\left|\int_{ax}^{bx}\frac{f(u)}{u}du-\int_{ax}^{bx}\frac{f(0)}{u}du\right|=\left|\int_{ax}^{bx}\frac{f(u)-f(0)}{u}du\right|\le\int_{ax}^{bx}\left|\frac{f(u)-f(0)}{u}\right|du<\epsilon\int_{ax}^{bx}\frac{du}{u}}\),

  soit encore \(\displaystyle{\left|\int_{ax}^{bx}\frac{f(t)}{t}dt-f(0)\ln\frac{b}{a}\right|<\epsilon\ln\frac{b}{a}}\).

  On a donc montré :

  \(\displaystyle{\forall\epsilon>0,~\exists\alpha>0,~\forall x\in]0,\alpha],~\left|\int_{ax}^{bx}\frac{f(t)}{t}dt-f(0)\ln\frac{b}{a}\right|<\epsilon\ln\frac{b}{a}}\).

  Ce qui signifie : \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\int_{ax}^{bx}\frac{f(t)}{t}dt=f(0)\ln\frac{b}{a}}\).

  L'intégrale \(J\) est convergente et vaut \(\displaystyle{J=f(0)\ln\frac{b}{a}-\int_a^b\frac{f(t)}{t}dt}\).

• Étude de l’intégrale \(\displaystyle{K=\int_1^{+\infty}\frac{f(at)-f(bt)}{t}dt}\)

  On étudie de même la fonction \(\displaystyle{x\mapsto K(x)=\int_1^x\frac{f(at)-f(bt)}{t}dt}\).

  En utilisant les mêmes changements de variable que précédemment \(u=at\) et \(u=bt\), on obtient : \(\displaystyle{K(x)=\int_a^{ax}\frac{f(u)}{u}du-\int_b^{bx}\frac{f(u)}{u}du=-\int_{ax}^{bx}\frac{f(u)}{u}du+\int_a^b\frac{f(u)}{u}du}\).

  Soit \(\epsilon>0\). Comme la fonction \(f\) tend vers \(L\) quand \(x\) tend vers l'infini, il existe \(B>0\) tel que : \(\forall u>B,~|f(u)-L|<\epsilon\).

  Posons \(\displaystyle{A=\max\left(1,\frac{B}{a}\right)}\). Alors, \(A>0\), et pour tout \(x\ge A\), on a :

  \(\displaystyle{\left|\int_{ax}^{bx}\frac{f(u)}{u}du-\int_{ax}^{bx}\frac{L}{u}du\right|=\left|\int_{ax}^{bx}\frac{f(u)-L}{u}du\right|\le\int_{ax}^{bx}\left|\frac{f(u)-L}{u}\right|du<\epsilon\int_{ax}^{bx}\frac{du}{u}}\),

  soit \(\displaystyle{\left|\int_{ax}^{bx}\frac{f(t)}{t}dt-L\ln\frac{b}{a}\right|<\epsilon\ln\frac{b}{a}}\).

  On a donc montré :

  \(\displaystyle{\forall\epsilon>0,~\exists A>0,~\forall x\ge A,~\left|\int_{ax}^{bx}\frac{f(t)}{t}dt-L\ln\frac{b}{a}\right|<\epsilon\ln\frac{b}{a}}\).

  Ce qui signifie : \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\int_{ax}^{bx}\frac{f(t)}{t}dt=L\ln\frac{b}{a}}\).

  L'intégrale \(K\) est donc convergente et vaut \(\displaystyle{K=-L\ln\frac{b}{a}+\int_a^b\frac{f(t)}{t}dt}\).

Conclusion. Finalement, l’intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\frac{f(at)-f(bt)}{t}dt}\) est convergente et vaut \(\displaystyle{(f(0)-L)\ln\frac{b}{a}}\).

1. La fonction \(\displaystyle{x\mapsto e^{-x}}\) satisfait aux hypothèses avec \(f(0)=1\) et \(L=0\). Donc l'intégrale \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{t}dt}\) est convergente et \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{t}dt=\ln\frac{b}{a}}\) .

   (On remarque que ce n’est pas la détermination de la convergence de l’intégrale qu’il est intéressant de déduire de la question précédente, une étude directe est beaucoup plus rapide, mais, bien entendu, la valeur de l’intégrale).

2. La fonction \(x\mapsto\arctan x\) satisfait aux hypothèses avec \(f(0)=0\) et \(\displaystyle{L=\frac{\pi}{2}}\).

   Donc l'intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\frac{\arctan~2t-\arctan t}{t}dt}\) est convergente et \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\frac{\arctan~2t-\arctan t}{t}dt=\frac{\pi}{2}\ln~2}\).

3. En ce qui concerne l’intégrale \(\displaystyle{\int_0^1\frac{t-1}{\ln t}dt}\), le changement de variable \(t=e^{-u}\) transforme, pour tout \(x\in]0,1[\) et tout \(\epsilon\in]0,1[\), l’intégrale \(\displaystyle{\int_{x}^{1-\epsilon}\frac{t-1}{\ln t}dt}\) en : \(\displaystyle{-\int_{-\ln x}^{-\ln(1-\epsilon)}\frac{e^{-u}-1}{-u}e^{-u}du=\int_{\ln\left(\tfrac{1}{1-\epsilon}\right)}^{\ln\left(\tfrac{1}{x}\right)}\frac{e^{-u}-e^{-2u}}{u}du}\).

   Quand \(x\) et \(\epsilon\) tendent vers \(0\), on obtient : \(\displaystyle{\int_0^{+\infty}\frac{e^{-u}-e^{-2u}}{u}du=\ln~2}\).