Cas des fonctions positives
Encore une fois, les fonctions positives montrent leur bonne volonté ! Il suffit, pour assurer la convergence de l'intégrale \(\displaystyle{\int_a^{+\infty}f(t)dt}\), de la convergence de la série\( \displaystyle{\sum\left(\int_{x_n}^{x_{n+1}}f(t)dt\right)}\) pour une suite\( (x_n)\) qui tend vers \(+\infty\).
Théorème : Théorème B
Soit \(f\) une fonction positive définie sur \([a,+\infty[\). L'intégrale \(\displaystyle{\int_a^{+\infty}f(t)dt}\) est convergente si et seulement s'il existe une suite \((x_n)\) croissante et tendant vers\( +\infty\), telle que la série \(\displaystyle{\sum\left(\int_{x_n}^{x_{n+}}f(t)dt\right)}\) soit convergente.
Preuve :
Seule la partie concernant la condition suffisante est à démontrer.
Démonstration :
Idée de la démonstration : elle repose sur les équivalences suivantes
d'une part entre la convergence de la série et la majoration des sommes partielles,
d'autre part entre la convergence de l'intégrale et la majoration de la fonction \(\displaystyle{\mathcal F :x\mapsto\int_a^xf(t)dt}\).
Complément : Détail de la démonstration
On pose \(\displaystyle{v_n=\int_{x_n}^{x_{n+}}f(t)dt}\) et\( \displaystyle{t_n=\sum_{k=0}^{n}v_k}\). La convergence de la série de terme général \(v_n\) entraîne l'existence d'un majorant\( \mathcal M\) pour la suite \((t_n)\). On a donc, pour tout entier \(n :\vert t_n\vert\leq\mathcal M\).
Soit \(x > a\). Il existe \(n\) tel que \(x_n> x\). On a alors :
\(\displaystyle{\int_a^xf(t)dt=\mathcal F(x)\leq\int_a^{x_0}f(t)dt+\int_{x_0}^{x_n}f(t)dt\leq\mathcal M+\int_a^{x_0}f(t)dt\leq\mathcal M+\mathcal M'}\)
, où \(\mathcal M'\) est une constante. L'intégrale \(\displaystyle{\int_a^{+\infty}f(t)dt}\) est donc convergente.