Relation entre la convergence des intégrales et des séries

Les séries de Bertrand, séries de terme général \(\displaystyle{u_n=\frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}n}(n\ge q2,\alpha\in\mathbf R,\beta\in\mathbf R)}\) sont convergentes si et seulement si : \(\alpha>1\) ou \(\alpha=1\) avec \(\beta>1\).

On remarque que seuls posent problème les cas\( \alpha=1,\) avec \(\beta>0\). En effet, d'après les théorèmes de comparaison ou la règle \("n^su_n"\) :

• pour \(\alpha<1\), on a \(nu_n=n^{1-\alpha}\ln^{-\beta}n\) et  donc \(nu_n\) tend vers \(+\infty\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\); la série de terme général \(u_n\) est divergente ;

• pour \(\alpha>1\) il existe \(\gamma\) vérifiant \(1\le\gamma<\alpha\) alors \(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}n^{\gamma-\alpha}\ln^{-\beta}n=0}\) ; la série de terme général \(u_n\) est convergente ;

• pour \(\alpha=1,\beta\leq0\), alors on a, pour \(n\) assez grand, \(\displaystyle{\frac{1}{n\ln^{\beta}n}>\frac{1}{n}}\), et la série de terme général \(u_n\) est divergente.

On considère maintenant le cas : \(\alpha=1,\beta>0\). Les théorèmes généraux ne permettent pas, en effet, de l'étudier. On associe à la série de terme général \(u_n\), la fonction \(\displaystyle{x\mapsto\frac{1}{x\ln^{\beta}x}}\), définie sur l'intervalle\( ]1,+\infty[\).

Cette fonction est positive et décroissante. La série est de même nature que l'intégrale \(\displaystyle{\int_2^{+\infty}\frac{1}{t\ln^{\beta}t}dt}\), transformée par le changement de variable bijectif \(u=\ln t\) en l'intégrale \(\displaystyle{\int_{\ln2}^{+\infty}\frac{du}{u^{\beta}}}\). Cette dernière converge si et seulement si \(\beta>1\).

Conclusion. Les séries de Bertrand, séries de terme général \(\displaystyle{u_n=\frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}n}(n\ge 2,\alpha\in\mathbb R,\beta\in\mathbb R)}\) sont convergentes si et seulement si : \(\alpha>1\) ou\( \alpha=1\) avec \(\beta>1\).