Quantificateur universel
\(\forall x\in E,~ P(x)\)
Cette phrase formelle affirme que la propriété \("P"\) est vraie pour tous les éléments \(x\) de l'ensemble \(E,\) ou encore qu'il n'y a pas dans \(E\) de contre-exemple à la propriété \("P".\)
On remarquera que le quantificateur\(\forall\) est placé avant la propriété qu'il quantifie.
En français, pour traduire le caractère universel d'une propriété dans l'ensemble \(E,\) on utilisera des expressions comme
pour tout \(x,\)
pour n'importe quel \(x,\)
quelque soit \(x,\)
pour chaque \(x,\)
pour un \(x\) quelconque.
Cependant, alors que le quantificateur en mathématiques doit figurer explicitement dans l'expression, il arrive en français qu'une phrase exprime une propriété universelle sans qu'un mot particulier comme tout, n'importe quel... ne figure.
Exemple : phrases universelles en français
Tout homme est mortel.
N'importe quel homme est mortel.
L'homme est mortel.
Ces phrases françaises sont rigoureusement équivalentes. Pourtant dans la dernière, il n'y a pas de marque explicite pour le caractère universel de la propriété énoncée. C'est l'article défini qui joue ce rôle, et on doit d'après le sens de la phrase, rétablir le quantificateur manquant pour traduire cette phrase en une phrase formalisée en mathématiques. On écrira :
\(\forall x\in H,~ M(x)\)
où \(H\) désigne l'ensemble des hommes et \("M(x)"\) la propriété \("x\) est mortel" .
Exemple : mathématiques de phrases universelles
Ce même phénomène se présente aussi en mathématiques, dans la mesure où les propriétés mathématiques sont énoncées en utilisant la langue naturelle. Lorsqu'on dit
"un entier positif est plus grand qu'un entier négatif ",
il est évident que le sens est
"n'importe quel entier positif est plus grand que n'importe quel entier négatif ",
et donc que cette phrase se traduit par:
\(\forall p\in\mathbb N,~ \forall n\in\mathbb N,~ p\geq - n.\)
" L'addition des entiers est commutative" :
on sait que cela veut dire que le résultat de la somme de deux entiers (quelconques) ne dépend pas de l'ordre des termes. Si on veut formaliser cette phrase, il faudra donc faire intervenir deux quantificateurs universels :
\(\forall x\in \mathbb Z,~ \forall y\in\mathbb Z,~ x + y = y + x.\)
Attention :
La propriété \("\forall x\in\emptyset,~ P(x)"\) est vraie pour n'importe quelle propriété \("P",\) puisqu'il n'y a aucun élément dans l'ensemble vide, et qu'une propriété est vraie dans un ensemble s'il n'y a pas de contre-exemple.
Remarque :
La propriété \("\forall x\in E, ~P(x)"\) ne dépend pas de \(x,\) elle signifie exactement la même chose que \("\forall y\in E,~ P(y)".\) On dit que la variable \(x\) est muette.
Exemple :
Les deux formules suivantes sont équivalentes:
\(\forall x\in \mathbb Z,~ \forall y\in\mathbb Z, ~~x + y = y + x\)
\(\forall a\in\mathbb Z,~ \forall z\in\mathbb Z,~~ a + z = z + a\)
En effet, les deux formules signifient: "l'addition dans \(\mathbb Z\) est commutative", et dans cette phrase, il n'y a ni \(x,\) ni \(y,\) ni \(a,\) ni \(z\)...