Quantificateur existentiel
\(\exists x\in E,~ P(x)\)
Cette phrase formelle affirme que dans \(E\) il existe au moins un élément x qui vérifie la propriété \("P".\) Attention, il peut aussi en exister plusieurs. La seule affirmation faite est la suivante : l'ensemble des éléments de \(E\) qui vérifie la propriété \("P"\) est non vide. Ceci est différent du langage courant souvent plus ambigu. Dans certains contextes, l'affirmation. Il y a un x qui vérifie \("P"\) peut vouloir dire un seul\( x,\) alors que dans le langage mathématique le sens est précis : au moins un \(x,\) éventuellement plusieurs.
Exemple : pour illustrer
Si \(a\in\mathbb Z,\) étudions la propriété
"l'équation \(2x^2 - (a + 2)x + a = 0\) a une solution entière".
L'équation a deux racines, \(x' = 1\) et \(x" = a/2\) ; si \(a\) est pair, elles sont entières toutes les deux, sinon, seule la première est entière. La propriété est donc vraie, bien qu'il y ait quelquefois deux solutions entières; elle doit être comprise comme:
\(\exists x\in\mathbb Z,~ 2x^2- (a + 2)x + a = 0\)
Souvent on précise quand même:
" l'équation \(2x^2 - (a + 2)x + a = 0\) a au moins une solution entière" , mais ce n'est pas obligatoire.
Attention :
La propriété \("\exists x \in\emptyset,~ P(x)"\) est fausse quelle que soit la propriété \("P",\) puisque l'ensemble vide ne contient aucun élément.
Remarque :
La propriété \("\exists x\in E,~ P(x)"\) ne dépend pas de \(x.\)
Les expressions \("\exists x\in E,~ P(x)" ~\textrm{et}~ "\exists y\in E,~ P(y)"\) signifient exactement la même chose. Les variables \(x\) et \(y\) sont ici des variables muettes.