Exercice n°1
Partie
Question
Soit \(A\) une partie de \(E,\) on appelle fonction caractéristique de \(A\) l'application \(f\) de \(E\) dans l'ensemble à deux éléments \(\{0 ; 1\},\) telle que :
\(f (x) = 0\) si\( x\notin A\) et \(f (x) = 1\) si \(x\in A\)
Soient \(A\) et \(B\) deux parties de \(E,\) \(f\) et \(g\) leurs fonctions caractéristiques. Montrer que les fonctions suivantes sont les fonctions caractéristiques d'ensembles que l'on déterminera :
\(1 - f\)
\(f g\)
\(f + g - f g\)
Solution détaillée
On fait un tableau de valeurs :
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &f& g &1 - f& fg& f + g - fg\\\hline x\in A~et~ x\in B& 1& 1& 0& 1& 1\\\hline x\in A~ et~ x\notin B& 1& 0& 0& 0& 1\\\hline x\notin A~ et~ x\notin B &0 &0& 1& 0& 0\\\hline x\notin A~ et~ x\in B& 0& 1& 1& 0& 1\\\hline\end{array}\)
Ces fonctions ne prennent que les valeurs \(0\) et \(1.\) Ce sont des fonctions caractéristiques d'ensembles.
Si deux ensembles ont les mêmes fonctions caractéristiques, ils sont égaux.
On constate que \(1 - f\) est la fonction caractéristique de \(C_E A.\)
\(fg\) est la fonction caractéristique de \(A\cap B.\)
\(f + g - fg\) est la fonction caractérique de \(A\cup B.\)