Exercice n°2

Partie

Soient un ensemble \(E\) et deux parties \(A\) et \(B\) de \(E.\) On désigne par \(A \Delta B\) l'ensemble \((A \backslash B)\cup (B \backslash A).\)

Dans les questions ci-après il pourra être commode d'utiliser la notion de fonction caractéristique (définie dans l'exercice n°1).

Question

Démontrer que \(A \Delta B = (A\cup B) \backslash (A\cap B).\)

Solution détaillée

Démonstration de \(A \Delta B = (A\cup B) \backslash (A\cap B).\)

On calcule les fonctions caractéristiques :

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline &&f _{A \Delta B}& f_{A\cup B}& f_{A\cap B}& f_{ (A\cup B) \backslash (A\cap B)}\\\hline x\in A& x\in B& 0& 1& 1& 0\\\hline x\in A& x\notin B& 1& 1& 0& 1\\\hline x\notin A& x\in B& 1& 1& 0& 1\\\hline x\notin A& x\notin B& 0& 0& 0& 0\\\hline\end{array}\)

Ce qui démontre la relation cherchée.

Question

Démontrer que pour toutes les parties \(A,\) \(B,\) \(C\) de \(E\) on a \((A \Delta B) \Delta C = A \Delta (B \Delta C).\)

Solution détaillée

Associativité \((A \Delta B) \Delta C = A \Delta (B \Delta C)\) démontrée en calculant les fonctions caractéristiques des deux membres :

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &&&f_{A \Delta B}& f_{B\Delta C}& f_{(A \Delta B) \Delta C}&f_{A \Delta (B\Delta C)}\\\hline x\in A& x\in B& x\in C& 0& 0& 1& 1\\\hline x\in A& x\in B& x\notin C& 0& 1& 0& 0\\\hline x\in A& x\notin B& x\in C& 1& 1& 0& 0\\\hline x\in A& x\notin B& x\notin C& 1& 0& 1& 1\\\hline x\notin A &x\in B& x\in C& 1& 0& 0& 0\\\hline x\notin A& x\in B& x\notin C& 1& 1& 1& 1\\\hline x\notin A& x\notin B& x\in C& 0& 1& 1& 1\\\hline x\notin A& x\notin B& x\notin C &0& 0& 0& 0\\\hline\end{array}\)

Question

Démontrer qu'il existe une unique partie \(X\) de \(E\) telle que pour toute partie \(A\) de \(E\) : \(A \Delta X = X \Delta A = A.\)

Solution détaillée

Montrons que si un ensemble \(X\) vérifie :

\(A \Delta X = X \Delta A = A,\) alors cet ensemble est vide.

Supposons un ensemble \(X\) tel que \(A \Delta X = A.\)

Soit \(x\) un élément de \(X,\) il y a deux cas :

  • 1er cas :

    \(x\notin A\) et \(x\in X.\) Donc \(x\) ne peut appartenir à \(A.\) Cas impossible.

    Donc si \(X\) est tel que \(A \Delta X = A\) alors \(X =\emptyset .\)

  • 2ème cas :

    \(x\in A\) et \(x\in X.\) Alors \(x\notin A \Delta X,\) on ne peut avoir \(A \Delta X = A,\) \(X\) n'a donc aucun élément, \(X =\emptyset\)

  • Réciproque :

    On vérifie immédiatement que \(A \Delta\emptyset = \emptyset\Delta A = A\)

    \(\emptyset\) est donc l'unique solution de :

    \(A \Delta X = X \Delta A = A\)

Question

Démontrer que pour toute partie \(A\) de \(E,\) il existe une partie \(A'\) de \(E\) et une seule telle que : \(A \Delta A' = A' \Delta A = E.\)

Solution détaillée

Soit une partie \(A.\)

On cherche une partie \(A'\) telle que \(A \Delta A' = A' \Delta A = E.\)

  • On a \(A \Delta A= A\cup A'.\)

    Si \(A \Delta A' = E\) alors \(A\cup A' = E\)

    Donc si \(x\notin A\) on a \(x\in A',~~ A'\supset C_E A\)

  • Si \(x\in A\cap A',\) \(x\notin A \Delta A'\) impossible si

    \(A \Delta A' = E\) alors \(A\cap A' = \emptyset.\)

    Ces deux conditions impliquent \(A' = C_E A\)

  • Réciproque :

    Il est immédiat de vérifier :

    \(A \Delta C_E A = C_E A \Delta A = E.\)