Arithmétique dans K[X]

L'égalité de l'énoncé est équivalente à l'égalité suivante : \((X^2P(X))^2+(Q(X))^2=-(X+3)(S(X))^2\)

On raisonne par l'absurde et par étapes :

• Première étape

  Supposons le polynôme \(S\) non nul, alors \(\exists r\in N, \exists c_0,c_1,\ldots,c_r \in R, c_r\neq 0~; \qquad S(X)= c_0+c_1X+\ldots+c_rX^r\)

  donc le degré de \(S\) est \(r\) alors le degré de \(-(X+3)(S(X))^2\) est \(2r+1\) et le coefficient de son terme de plus haut degré est \(-c_r^2\).

  Le polynôme \(-(X+3)(S(X))^2\) est non nul et \((X^2P(X))^2+(Q(X))^2\) aussi, ce qui implique qu'au moins un des polynômes \(P\) ou \(Q\) est non nul.

  Supposons de plus \(P\neq 0\) et \(Q\neq 0\) alors

  \(\exists m\in N, \exists a_0,a_1,\ldots, a_m \in R, a_m\neq 0;\qquad P(X)=a_0+a_1X+\ldots+a_mX^m\)

  \(\exists m\in N, \exists b_0,b_1,\ldots, b_n\in R, b_n\neq 0;\qquad Q(X)=b_0+b_1X+\ldots+b_nX^n\)

  Alors \(\deg((X^2P)^2)=2m+4, \deg(Q^2)=2n\).

  Notons \(\alpha\) le coefficient du terme de plus haut degré de \((X^2P)^2+Q^2\).

  Trois cas peuvent se présenter :

  a. \(m+2<n\) alors le degré de \((X^2P)^2+Q^2\) est \(2n\) et \(\alpha=b_n^2\)

  b. \(m+2>n\) alors le degré de \((X^2P)^2+Q^2\) est \(2m+4\) et \(\alpha=a_m^2\)

  c. \(m+2=n\) alors le degré de \((X^2P)^2+Q^2\) est \(2n\) car \(deg((X^2P)^2)=deg(Q^2)\) et \(a_m^2+b^2_n\neq 0\) (somme de deux réels strictement positifs) donc \(\alpha=a_m^2+b_n^2\).

  Dans tous les cas le degré de \((X^2P)^2+Q^2\) est un entier pair.

  L'égalité (1) exprimerait qu'un polynôme de degré pair est égal à un polynôme de degré impair ce qui est absurde.

  Supposons \(P\neq 0\) et \(Q=0\), on aboutit à la même absurdité car \(deg(X^4P^2)=2m+4\)

  et \(deg(-(X+3)(S(X))^2)=2r+1\).

  Résultat analogue si \(P=0\) et \(Q\neq 0\).

  On vient de montrer que l'hypothèse \(S\) non nul amène à une absurdité donc \(S\) est nul.

• Deuxième étape

  \(S(X)=0 \Rightarrow (X^2P(X))^2+(Q(X))^2=0\)

  Au cours de la première étape on a démontré que si au moins un des polynômes \(P\) ou \(Q\) est non nul

  alors \((X^2P)^2+Q^2\) est non nul en étudiant le coefficient du terme de plus haut degré.

  Donc \(P\) et \(Q\) sont nuls.

  Conclusion : \(P=Q=S=0\).

  Le fait que les coefficients soient réels est essentiel pour affirmer \((a\neq0, b\neq 0) \Rightarrow a^2+b^2\neq 0\)

  Dans \(C[X]\qquad X^4(P(X))^2+(Q(X))^2+(X+3)(S(X))^2=0\)

  avec \(P(X)=i, Q(X)=X^2, S(X)=0\).

  Donc on ne peut pas remplacer le corps des réels par le corps des complexes.