Divisibilité

Durée : 15 mn

Note maximale : 20

Question

Soit les polynômes :

\(A_n(X)=\cos(n-1)\phi~X^{n+1}-\cos~n\phi~X^n-\cos\phi~X+1 \qquad ,n\in N^*, \phi \in R\)

\(B(X)=X^2-2\cos\phi~X+1\)

  1. Montrer que \(\forall n\in N^* \qquad A_n{n+1}-A_n\) est divisible par \(B\).

  2. En déduire que les polynômes \(A_n\) sont divisibles par le polynôme \(B\).

Solution

  1. (10 points)

    \(\begin{array}{cc}\forall n\in N^*,& A_n(X)=cos(n-1)\phi~X^{n+1}-\cos n\phi~X^n-cos\phi X+1\\&A_{n+1}(X)=cos n\phi~X^{n+2}-cos(n+1)\phi~X^{n+1}+cos\phi~X+1\end{array}\),

    \(\begin{array}{ccc}A_{n+1}(X)-A_n(X)&=&cos n\phi~(X^{n+2}+X^n)-(cos (n+1)\phi+cos(n-1)\phi) X^{n+1}\\&=&cos n\phi~X^n(X^2+1)-(2cos n\phi cos\phi)~X^{n+1}\end{array}\)

    D'où \(\forall n\in N^*\qquad A_{n+1}(X)-A_n(X)=cos n\phi~X^n(X^2-2cos\phi~X+1)\)

    Cette dernière égalité exprime que \(A_{n+1}-A_n\) est divisible par B.

  2. (10 points)

    On utilise un raisonnement par récurrence.

    Cas \(n=1\)

    \(A_1(X)=cos 0~X^2-cos\phi X-cos\phi X+1=B(X)\), donc \(A_1\) est divisible par B.

    Supposons \(A_n\) divisible par \(B\), montrons alors que \(A_{n+1}\) est aussi divisible par \(B\).

    Donc \(\exists Q_n\in R[X],~A_n(X)=B(X)Q_n(X)\qquad (1)\).

    A la question précédente on a démontré : \(A_{n+1}(X)=A_n(X)+cos n\phi B(X)X^n\qquad (2)\).

    En reportant (1) dans (2), on obtient \(A_{n+1}(X)=B(X)(Q_n(X)+cos n\phi X^n)\)

    Cette dernière égalité exprime la divisibilité de \(A_{n+1}\) par \(B\).

    Le raisonnement par récurrence est ainsi terminé.