Arithmétique dans K[X]

(4 points) S'il existe un polynôme \(P\) tel que \(P\) soit divisible par \(A\) et \(P-1\) soit divisible par \(B\), alors il existe deux polynômes \(P_1\) et \(P_2\) tels que \(P=AP_1\) et \(P-1=BP_2\), c'est-à-dire tels que \(AP_1-1=BP_2\), donc tels que \(AP_1-BP_2=1\).

On reconnaît l'identité de Bézout.

Donc s'il existe un polynôme \(P\) tel que \(P\) soit divisible par \(A\) et \(P-1\) soit divisible par \(B\), alors les polynômes \(A\) et \(B\) sont premiers entre eux :

la condition " \(A\) et \(B\) premiers entre eux " est donc une condition nécessaire pour qu'un tel polynôme \(P\) existe.

Réciproquement si les polynômes \(A\) et \(B\) sont premiers entre eux, il existe deux polynômes \(U\) et \(V\)

tels que \(AU+BV=1\).

En prenant \(P=AU\), on remarque que \(P-1=-BV\), alors le polynôme \(P\) vérifie les conditions " \(P\) divisible par \(A\) et \(P-1\) divisible par \(B\) " :

la condition " \(A\) et \(B\) premiers entre eux " est donc une condition suffisante pour qu'un tel polynôme \(P\) existe.

Remarque : outre la condition nécessaire et suffisante demandée, on a obtenu un procédé effectif pour trouver un tel polynôme \(P\) quand il existe.

a. (3 points) Soient \(A(X)=X^5+X^3+X^2+1\) et \(B(X)=X^4+X^3+2X^2+X+1\).

On recherche donc le PGCD des polynômes \(A\) et \(B\) par l'algorithme d'Euclide :

les divisions euclidiennes successives donnent :

\(X^5+X^3+X^2+1=(X^4+X^3+2X^2+X+1)(X-1)+2X^2+2\)

puis \(X^4+X^3+2X^2+X+1=(X^2+1)(X^2+X+1)\)

Le polynôme \(2(X^2+1)\) est le dernier reste non nul dans les divisions considérées, on en conclut que le polynôme \(X^2+1\) est le PGCD des polynômes \(A(X)\) et \(B(X)\).

Donc les polynômes \(A\) et \(B\) n'étant pas premiers entre eux, il n'existe pas de polynôme \(P(X)\) divisible par le polynôme \(X^5+X^3+X^2+1\) tel que le polynôme \(P(X)-1\) soit divisible par le polynôme \(X^4+X^3+2X^2+X+1\).

b. (3 points) Soient \(A(X)=X^4+X^2+2X+4\) et \(B(X)=X^2+X+1\)

On cherche donc le PGCD des polynômes \(X^4+X^2+2X+4\) et \(X^2+X+1\).

Or \(X^4+X^2+2X+4=(X^2+X+1)(X^2-X+1)+2X+3\)

et \(X^2+X+1=(2X+3)\left(\frac12X-\frac14\right)+\frac 74\).

Comme le dernier reste non nul est une constante, les polynômes \(X^4+X^2+2X+4\) et \(X^2+X+1\) sont premiers entre eux.

Donc il existe un polynôme \(P(X)\) divisible par le polynôme \(X^4+X^2+2X+4\)

et tel que le polynôme \(P(X)-1\) soit divisible par le polynôme \(X^2+X+1\).

(5 points) On a vu dans la question 1 que lorsque \(A\) et \(B\) sont premiers entre eux, on peut choisir \(P=AU\) où \(U\) et \(V\) sont tels que \(AU+BV=1\).

On a donc \(A(X)=X^4+X^2+2X+4\) et \(B(X)=X^2+X+1\).

On calcule le polynôme \(U\) à partir des restes des divisions euclidiennes intervenant dans la recherche précédente du PGCD de \(A\) et \(B\).

On a trouvé : \(X^4+X^2+2X+4=(X^2+X+1)(X^2-X+1)+2X+3\)

\(X^2+X+1=(2X+3)\left(\frac12X-\frac14\right)+\frac74\).

Donc \(2X+3=(X^4+X^2+2X+4)-(X^2+X+1)(X^2-X+1)\)

et \(\frac74=(X^2+X+1)-(2X+3)\left(\frac12X-\frac14\right)\)

Avec les notations \(A(X)\) et \(B(X)\) cela donne : \(2X+3=A(X)-B(X)(X^2-X+1)\)

et \(\frac74=B(X)-(2X+3)\left(\frac12X-\frac14\right)\) donc \(\frac74=B(X)-[A(X)-B(X)(X^2-X+1)]\left(\frac12X-\frac14\right)\).

En regroupant les termes en \(A(X)\) et \(B(X)\), on trouve :

\(\frac74=A(X)\left(-\frac12X+\frac14\right)+B(X)\left[1+(X^2-X+1)\left(\frac12X-\frac14\right)\right]\).

On divise tout par \(\frac74\):

\(1=A(X)\frac47\left(-\frac12X+\frac14\right)+B(X)\frac47\left[1+(X^2-X+1)\left(\frac12X-\frac14\right)\right]\)

Il est inutile de faire tous les calculs puisque seul nous intéresse un polynôme de la forme \(P=AU\) où \(U\) est tel que \(AU+BV=1\).

D'où : \(P(X)=A(X)\frac47\left(-\frac12X+\frac14\right)=(X^4+X^2+2X+4)\left(-\frac27X+\frac17\right)\)

Tous calculs faits, on trouve :

\(P(X)=\frac17(-2X^5+X^4-2X^3-3X^2-6X+4)\)