Puissances de polynômes premiers entre eux

Durée : 15 mn

Note maximale : 10

Question

  1. Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois polynômes vérifiant les deux conditions \(A\) et \(B\) premiers entre eux et \(A\) et \(C\) premiers entre eux.

    Montrer alors que les polynômes \(A\) et \(BC\) sont premiers entre eux.

  2. Soient \(A\) et \(B\) deux polynômes premiers entre eux. Montrer que quels que soient les entiers strictement positifs \(m\) et \(n\), les polynômes \(A^m\)et \(B^n\) sont premiers entre eux.

Solution

  1. (4points)

    D'après l'identité de Bézout, deux polynômes \(P\) et \(Q\) sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux polynômes \(U\) et \(V\) tels que \(Pu+QV=1\).

    On cherche une telle relation entre \(A\) et \(BC\).

    Comme A et B sont premiers entre eux, il existe deux polynômes \(U_1\) et \(V_1\) tels que \(AU_1+BV_1=1\);

    de même comme \(A\) et \(C\) sont premiers entre eux, il existe deux polynômes \(U_2\) et \(V_2\) tels que \(AU_2+CV_2=1\).

    En multipliant membre à membre les deux égalités précédentes on obtient : \((AU_1+BV_1)(AU_2+CV_2)=1\), c'est-à-dire : \(A(AU_1U_2+U_1VC_2+BV_1U_2)+BC(V_1V_2)=1\).

    Donc \(A\) et \(BC\) sont premiers entre eux.

  2. (6 points) On montre par récurrence que si \(A\) et B sont deux polynômes premiers entre eux, alors quel que soit l'entier strictement positif \(n\), les polynômes \(A\) et \(B^n\) sont premiers entre eux :

    Soit \(H_k\) la propriété : les polynômes \(A\) et \(B^k\) sont premiers entre eux.

    \(H_1\) est vraie puisque \(A\) et \(B\) sont premiers entre eux par hypothèse.

    On montre que \(H_k\Rightarrow H_{k+1}\):

    Puisque \(A\) et \(B\) sont premiers entre eux et puisque \(A\) et \(B^k\) sont premiers entre eux, d'après la question 1., \(A\) et \(BB^k=B^{k+1}\) sont premiers entre eux.

    Donc quel que soit l'entier strictement positif n, les polynômes \(A\) et \(B^n\) sont premiers entre eux.

    Soit \(B'=B^n\), les polynômes \(B'\) et \(A\) sont premiers entre eux, donc d'après ce qui précède, pour tout entier strictement positif \(m\), les polynômes \(B'\) et \(A^m\)sont premiers entre eux.

    On a bien montré que quels que soient les entiers strictement positifs \(m\) et \(n\), les polynômes \(A^m\) et \(B^n\) sont premiers entre eux.