(4points)
D'après l'identité de Bézout, deux polynômes \(P\) et \(Q\) sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux polynômes \(U\) et \(V\) tels que \(Pu+QV=1\).
On cherche une telle relation entre \(A\) et \(BC\).
Comme A et B sont premiers entre eux, il existe deux polynômes \(U_1\) et \(V_1\) tels que \(AU_1+BV_1=1\);
de même comme \(A\) et \(C\) sont premiers entre eux, il existe deux polynômes \(U_2\) et \(V_2\) tels que \(AU_2+CV_2=1\).
En multipliant membre à membre les deux égalités précédentes on obtient : \((AU_1+BV_1)(AU_2+CV_2)=1\), c'est-à-dire : \(A(AU_1U_2+U_1VC_2+BV_1U_2)+BC(V_1V_2)=1\).
Donc \(A\) et \(BC\) sont premiers entre eux.
(6 points) On montre par récurrence que si \(A\) et B sont deux polynômes premiers entre eux, alors quel que soit l'entier strictement positif \(n\), les polynômes \(A\) et \(B^n\) sont premiers entre eux :
Soit \(H_k\) la propriété : les polynômes \(A\) et \(B^k\) sont premiers entre eux.
\(H_1\) est vraie puisque \(A\) et \(B\) sont premiers entre eux par hypothèse.
On montre que \(H_k\Rightarrow H_{k+1}\):
Puisque \(A\) et \(B\) sont premiers entre eux et puisque \(A\) et \(B^k\) sont premiers entre eux, d'après la question 1., \(A\) et \(BB^k=B^{k+1}\) sont premiers entre eux.
Donc quel que soit l'entier strictement positif n, les polynômes \(A\) et \(B^n\) sont premiers entre eux.
Soit \(B'=B^n\), les polynômes \(B'\) et \(A\) sont premiers entre eux, donc d'après ce qui précède, pour tout entier strictement positif \(m\), les polynômes \(B'\) et \(A^m\)sont premiers entre eux.
On a bien montré que quels que soient les entiers strictement positifs \(m\) et \(n\), les polynômes \(A^m\) et \(B^n\) sont premiers entre eux.