Définitions et exemples
Théorème : - définition : Racine d'un polynôme de K[X] dans K
Soit a un élément de \(K\) et \(P\) un élément de \(K[X]\). Les deux conditions suivantes sont équivalentes :
i. \(\tilde{P}(a)=0\)
ii. Le polynôme \(X-a\) divise \(P\) dans \(K[X]\)
Si l'une de ces conditions est vérifiée, on dit que \(a\) est racine de \(P\) (ou est un "zéro" de \(P\)).
Preuve : de l'équivalence :
\(i. \Leftrightarrow ii.\):
Soit \(a\) un élément de \(K\) ; la division euclidienne dans \(K[X]\) de \(P\) par le polynôme \(X-a\) donne :
\(\exists!(Q,R)\in (K[X])^2\), \(P(X)=(X-a)Q(X)+R(X)\) avec \(R=0\) ou \(deg(R)<1\)
Ces deux conditions sur le reste \(R\) se traduisent par le fait que ce reste est un polynôme constant ; on note \(r\) cette constante qui est un élément de \(K\). D'après les règles de calcul sur les fonctions polynômes, on obtient l'égalité : \(\tilde{P}(a)=(a-a)\tilde{Q}(a)+r\).
D'où \(\tilde{P}(a)=r\). L'équivalence est alors immédiate.
Conséquence immédiate :
Il résulte clairement de la définition que tout polynôme de degré 1 admet une racine (et une seule).
Exemple :
Soit le polynôme de \(R[X]\), \(P(X)=(X-3)^2(X+1)\). En utilisant l'une ou l'autre des conditions du théorème, il est immédiat que les réels \(3\) et \(-1\) sont les racines de \(P\).
Soit le polynôme de \(R[X]\), \(P(X)=X^4-X^3+X^2-X\). Visiblement, on peut mettre \(X\) en facteur dans le polynôme \(P\), et par conséquent le réel 0 est une racine de \(P\).
D'autre part, un simple calcul prouve que \(\tilde{P}(1)=0\). Donc 1 est une racine de \(P\). Le polynôme \(P\) est donc divisible par \(X-1\).
Comme les polynômes \(X\) et \(X-1\) sont premiers entre eux, le polynôme \(P\) est divisible
par \(X(X-1)\).
Théorème : qui justifie cette affirmation
Si un polynôme est divisible par deux polynômes premiers entre eux, il est divisible par leur produit.
La démonstration de cette propriété est basée sur la propriété de Bézout.
On a donc \(P(X)=X(X^3-X^2+X-1)=X(X-1)(X^2+1)\).
Comme le polynôme \(X^2+1\) n'a pas de racines réelles, on a toutes les racines de \(P\) dans \(R\).
Remarque : importante
La terminologie " racine dans le corps \(K\) " est essentielle. En effet, le corps \(K\) joue un rôle fondamental. Soit par exemple le polynôme \(X^2+1\):
Considéré comme élément de \(R[X]\), il n'a pas de racines. Sinon il existerait un réel \(a\) tel que \(a^2=-1\), ce qui est contraire à la structure de corps ordonné de \(R\).
Considéré comme élément de \(C[X]\), il a deux racines : \(i\) et \(-i\).
On peut introduire le vocabulaire suivant :
Définition : Racine d'un polynôme dans un sur-corps du corps de ses coefficients
Soient \(K\) et \(M\) deux corps tels que \(M\) contienne \(K\). Soit \(P\) un élément de \(K[X]\).
Si \(a\) est un élément de \(M\) tel que \(\tilde{P}(a)=0\), on dit que \(a\) est une racine de \(P\) dans \(M\).
Si l'on reprend l'exemple précédent en introduisant ce vocabulaire, on peut dire que le polynôme \(X^2+1\) n'a pas de racines dans \(R\) mais qu'il a deux racines dans \(C\).