Relations entre coefficients et racines d'un polynôme de K[X] scindé sur K
On peut trouver des relations entre les coefficients d'un polynôme scindé et ses racines.
Par exemple si l'on a un polynôme de degré 2 scindé dans \(K[X]\), on peut l'écrire
\(aX^2+bX+c=a(X-\lambda_1)(X-\lambda_2)\)
où \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) sont les racines de \(P\) non nécessairement distinctes.
Alors, en effectuant les calculs on obtient : \(aX^2+bX+c=a[X^2-(\lambda_1+\lambda_2)X+\lambda_1\lambda_2}\).
D'où les relations :
\(\lambda_1+\lambda_2=-\frac ba\)
\(\lambda_1\lambda_2=\frac ca\)
Ceci est un exemple de la situation générale qui est explicitée dans le théorème suivant.
Théorème : Relations entre coefficients et racines
Soit \(P(X)=a_0+a_1X+\ldots+a_nX^n\) un élément de \(K[X]\), avec \(a_n\) non nul.
On suppose \(P\) scindé dans \(K\), donc \(P\) peut être écrit sous la forme :
\(P(X)=a_n(X-\lambda_1)(X-\lambda_2)\ldots(X-\lambda_n)\)
(en écrivant \(r\) fois chaque racine multiple d'ordre \(r\)).
Alors pour tout \(p\), \(1\leq p\leq n\),
\(\sigma_p=\displaystyle{\sum_{1\leq i_1< i_2<\ldots<i_p\leq n}}\lambda_{i_1}\lambda_{i_2}\ldots \lambda_{i_p}=(-1)^p\frac{a_{n-p}}{a_n}\)
En particulier :
\(\sigma_1=\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=n}}\lambda_i=-\frac{a_{n-1}}{a_n} \),\(\sigma_2=\displaystyle{\sum_{1\leq i<j\leq n}}\lambda_i\lambda_j=\frac{a_{n-2}}{a_n}\),\(\sigma_n=\displaystyle{\prod_{i=1}^{i=n}}\lambda_i=(-1)^n\frac{a_{0}}{a_n}\)
Exemple :
Dans le cas d'un polynôme de degré 3, scindé sur \(K\), en notant \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\) ses trois racines distinctes ou non, on a :
\(\sigma_1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3,~\sigma_2=\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3 ~\textrm{ et }~\sigma_3=\lambda_1\lambda_2\lambda_3\)
Nous ne donnerons pas la démonstration dans le cas général, nous avons déjà vu le cas d'un polynôme de degré 2. Les formules, dans le cas d'un polynôme de degré 3 se démontrent de la même façon. Nous pouvons donner le résultat.
Si \(P(X)=aX^3+bX^2+cX+d\), on a :
\(\sigma_1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=-\frac ba\)
\(\sigma_2=\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3=\frac ca\)
\(\sigma_3=\lambda_1\lambda_2\lambda_3=-\frac da\)
Remarque :
sur les sommes \(\sigma_p\)
La notation \(\sigma_p=\displaystyle{\sum_{1\leq i_1<i_2<\ldots<i_p\leq n}}\lambda_{i_1}\lambda_{i_2}\ldots\lambda_{i_p}\) peut paraître complexe. En fait on peut l'expliciter. On prend tous les produits possibles de \(p\) racines (on note \(\lambda_{i_1}\lambda_{i_2}\ldots\lambda_{i_p}\) un tel produit en les ordonnant dans l'ordre croissant de leurs indices) et on fait la somme de tous ces produits.
Pour être sûr d'avoir tous " les produits possibles " il est nécessaire d'écrire ces produits en suivant un classement.
La méthode est explicitée sur l'exemple suivant : \(n=5\), \(p=3\). Pour écrire \(\sigma_3\) il faut écrire tous les produits \(\lambda_{i_1}\lambda_{i_2}\lambda_{i_3}\), avec \(1\leq i_1<i_2<i_3\leq 5\). Ils sont présentés dans le tableau suivant :
\(\lambda_{i_1}\) | \(\lambda_{i_1}\lambda_{i_2}\) avec \(i_1< i_2\) | \(\lambda_{i_1}\lambda_{i_2}\lambda_{i_3}\) avec \(i_1<i_2<i_3\) |
\(\lambda_{1}\) | \(\lambda_{1}\lambda_{2}\) | \(\lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3}\) |
\(\lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{4}\) | ||
\(\lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{5}\) | ||
\(\lambda_{1}\lambda_{3}\) | \(\lambda_{1}\lambda_{3}\lambda_{4}\) | |
\(\lambda_{1}\lambda_{3}\lambda_{5}\) | ||
\(\lambda_{1}\lambda_{4}\) | \(\lambda_{1}\lambda_{4}\lambda_{5}\) | |
\(\lambda_{2}\) | \(\lambda_{2}\lambda_{3}\) | \(\lambda_{2}\lambda_{3}\lambda_{4}\) |
\(\lambda_{2}\lambda_{3}\lambda_{5}\) | ||
\(\lambda_{2}\lambda_{4}\) | \(\lambda_{2}\lambda_{4}\lambda_{5}\) | |
\(\lambda_{3}\) | \(\lambda_{3}\lambda_{4}\) | \(\lambda_{3}\lambda_{4}\lambda_{5}\) |
La somme \(\sigma_3\) est obtenue en faisant la somme de tous les produits de la colonne de droite.
Les sommes \(\sigma_p=\displaystyle{\sum_{1\leq i_1< i_2<\ldots<i_p\leq n}}\lambda_{i_1}\lambda_{i_2}\ldots\lambda_{i_p}\) sont appelées les fonctions symétriques élémentaires des racines.
Intérêt : Toute fonction symétrique des racines s'exprime à l'aide des \(\sigma_p\) donc des coefficients du polynôme. C'est la base de la théorie de Galois.
Définition : Fonction symétrique
Soit \(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\)une expression polynomiale par rapport aux \(n\) variables \(x_1,x_2,\ldots,x_n\).
On dit que c'est une fonction symétrique si pour toute permutation \(s\) de l'ensemble \(\{1,2,\ldots,n\}\)(\(s\) est donc une bijection de \(\{1,2,\ldots,n\}\) dans lui-même) l'égalité suivante est satisfaite :
\(f(x_{s(1)},x_{s(2)},\ldots,x_{s(n)})=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\)
Exemple : \(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^3x_2x_3+x_1x_2^3x_3+x_1x_2x_3^3\)
Il ne peut être question ici de dépasser cette définition quasi intuitive car cela nécessiterait des outils mathématiques hors du cadre de cette ressource.