Polynômes à coefficients dans Z
Durée : 15 mn
Note maximale : 10
Question
On considère dans \(R[X]\) le polynôme de degré \(n\) : \(A(X)=a_0+a_1X+\ldots+a_nX^n\)
les \(a_i\), \(0\elq i\leq n\), étant des entiers relatifs, \(a_0\) et \(a_n\) étant non nuls.
Montrer que si \(A\) admet une racine rationnelle, mise sous la forme irréductible \(\frac pq\) (\(p\in \mathbb{Z}\), \(q\in \mathbb{N}^*\)), alors \(p\) divise \(a_0\) et \(q\) divise \(a_n\).
Soit \(A(X)=2X^4+3X^3+2X^2-1\).
Trouver les racines de \(A\) dans \(C\), sachant qu'il admet deux racines rationnelles.
Solution
(5 points)
Le rationnel \(\frac pq\) étant racine de \(A\), on a \(A\left(\frac pq\right)=0\), donc \(a_0+a_1\frac pq+\ldots+a_n \frac{p^n}{q^n}=0\).
En réduisant au même dénominateur on peut écrire :
\(a_0q^n+a_1pq^{n-1}+a_2p^2q^{n-2}+\cdots+a_{n-1}p^{n-1}q+a_np^n=0\)
De ceci on tire l'égalité : \(q\,(a_0q^{n-1}+a_1pq^{n-2}+\cdots+a_{n-1}p^{n-1}q+a_np^n)=-a_np^n\)
Donc \(q\) divise \(a_np^n\).
Or la fraction \(\frac{p}{q}\) étant irréductible, l'entier \(q\) est premier avec \(p\) donc aussi avec \(p^n\), donc il divise \(a_n\).
De même on a l'égalité : \(p\,(a_1q^{n-1}+\cdots+a_np^{n-1})=-a_0q^n,\)
et par un même argument on en déduit que p divise \(a_0\).
(5 points)
Le polynôme \(A(X)=2X^4+3X^3+2X^2-1\) est à coefficients dans \(\mathbb{Z}\). D'après la question précédente, on cherche ses racines rationnelles sous la forme \(\frac{p}{q}\) avec \(p\) divise 1 et \(q\) divise 2.
Donc les racines appartiennent à l'ensemble \(\left \{1,-1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2} \right\}\)
On calcule les images de ces points par la fonction polynôme A.
On trouve \(A(1)=6,~A(-1)=0,~A\left (\frac{1}{2}\right)=0,~A\left (-\frac{1}{2} \right)=-\frac{3}{4}\)
Le polynôme \(A\) admet donc -1 et \(\frac{1}{2}\) comme racines, il est donc divisible par \(X+1\) et \(X-\frac{1}{2}\), donc aussi par leur produit puisque ces deux polynômes sont premiers entre eux.
En divisant \(A\) par ce produit, on a l'égalité suivante :
\(A(X)=(X+1)\,(2X-1)\,(X^2+X+1).\)
Les racines dans \(\mathbb{C}\) de \(X^2+X+1\) sont \(j=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt {3}}{2} ~~et~~ j^2=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt {3}}{2}.\)
Donc la décomposition de \(A\) en polynômes irréductibles est donc :
\(A(X)=(X+1)\,(2X-1)\,(X-j)\,(X-j^2)\)
et les racines de A dans \(\mathbb{C}\). sont : \(-1,\frac{1}{2},j ~~et~~ j^2\).