Polynômes à coefficients dans Z

Durée : 15 mn

Note maximale : 10

Question

  1. On considère dans \(R[X]\) le polynôme de degré \(n\) : \(A(X)=a_0+a_1X+\ldots+a_nX^n\)

    les \(a_i\), \(0\elq i\leq n\), étant des entiers relatifs, \(a_0\) et \(a_n\) étant non nuls.

    Montrer que si \(A\) admet une racine rationnelle, mise sous la forme irréductible \(\frac pq\) (\(p\in \mathbb{Z}\), \(q\in \mathbb{N}^*\)), alors \(p\) divise \(a_0\) et \(q\) divise \(a_n\).

  2. Soit \(A(X)=2X^4+3X^3+2X^2-1\).

    Trouver les racines de \(A\) dans \(C\), sachant qu'il admet deux racines rationnelles.