Fonctions polynômes

(6 points)

Le polynôme \(Q(X)=(X-a)(X-b)\) étant de degré 2, le reste \(R\) de la division euclidienne du polynôme \(P\) par le polynôme \(Q\) est nul ou de degré inférieur ou égal à 1,

donc il peut s'écrire \(R(X)=cX+d\), où \(c\) et \(d\) sont des complexes.

Il existe donc un polynôme \(S(X)\) tel que \(P(X)=(X-a)\,(X-b)\,S(X)+cX+d\).

On considère la fonction polynôme associée à \(P\) dans \(\mathbb{C}\) (notée encore \(P\) puisque \(C\) est infini), et sa valeur aux points \(a\) et \(b\). On obtient : \(P(a)=ca+d ~~et~~ P(b)=cb+d.\)

Donc c et d sont solutions des systèmes équivalents suivants :

\(\left\{ \begin{array}{lcl} c ~a + d &=&P(a)\\ c ~b + d &=&P(b) \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{lcl} d + c\,a &=&P(a) \\ c \,(a-b) &=&P(a)-P(b) \end{array}\right.\)

D'où \(c=\frac {P(a)-P(b)}{a-b} ~~et ~~d=\frac {aP(b)-bP(a)}{a-b}\)

Donc le reste de la division euclidienne du polynôme \(P(X)\) par le polynôme est le polynôme \(Q(X)=(X-a)\,(X-b)\) est le polynôme :

\(\frac {P(a)-P(b)}{a-b}\,X+\frac {aP(b)-bP(a)}{a-b}\)

(4 points)

On considère \(Q(X)=X^2-3X+2\), il est immédiat que \(1\) est racine de \(Q\)

et que \(Q(X)=X^2-3X+2=(X-1)\,(X-2)\)

Donc on applique le résultat précédent au polynôme \(P(X)=X^n\) et aux réels \(a=1\) et \(b=2 .\)

Le reste de la division euclidienne du polynôme \(X^n\) par le polynôme \(X^2-3X+2\) est le polynôme :

\((2^n-1)\,X+2-2^n\)

Soit \(A=\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\)

(2 points) On calcule \(A^2-3A+2\,I_2.\) On trouve \(A^2=\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10 & -6 \\ 9 & -5 \end{pmatrix}\),

d'où \(A^2-3A+2\,I_2\)

On considère l'application qui au polynôme \(Q(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_kX^k\) de \(\mathbb{C}[X]\) associe la matrice \(a_0\,I_2+a_1\,A+\cdots+a_kA^k.\)

Cette application transforme les sommes de polynômes en sommes de matrices et les produits de polynômes en produits de matrices, en conservant les règles de calcul.

Or d'après la question précédente il existe un polynôme \(S(X)\)

tel que \(X^n=(X^2-3X+2)\,S(X)+(2^n-1)\,X+2-2^n\).

donc on obtient :

(8 points) \(A^n=(A^2-3A+2I_2)\,S(A)+(2^n-1)\,A+(2-2^n)\,I_2.\)

Comme \(A^2-3A+2I_2=0\), on en déduit que

\(A^n=(2^n-1)\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}+(2-2^n) \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3.2^n-2 & 2-2^{n+1} \\3.2^n-3 &3-2^{n+1} \end{pmatrix}\)