Résolution d'un système symétrique non linéaire
Durée : 15 mn
Note maximale : 20
Question
Soit \(P(X)=X^3+bX^2+cX+d, avec ~d \neq 0\) , un polynôme à coefficients complexes, dont les racines sont notées \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\)
Soit \(\sigma_1 = \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3 , ~\sigma_2= \lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3, ~\sigma_3=\lambda_1\lambda_2\lambda_3.\)
\(Exprimer ~~U= \lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3 ^2 ~et~ V=\frac {1}{\lambda_1} + \frac {1}{\lambda_2} +\frac {1}{\lambda_3}\) en fonction de \(\sigma_1 ,\sigma_2,\sigma_3\) puis en fonction des coefficients b,c,d.
Soit le système aux trois inconnues complexes \(x, y, z\)
\(\left \{\begin{array}{lcl} x+y+z=2 \\\\ x^2+y^2+z^2=6 \\\\ \frac {1}{x} + \frac {1}{y} +\frac {1}{z}=\frac {1}{2} \end{array} \right.\)
a. Démontrer que le triplet \((x,y,z)\) de complexes est solution de \((S)\) si et seulement si les nombres \(x, y, z\) sont les racines du polynôme \(Q(X)=X^3-2X^2-X+2.\)
b.Trouver l'ensemble des triplets solutions du système \((S).\)
Solution
1. Rappel \(\sigma_1=-b , \sigma_2=c , \sigma_3=-d.\)
Calcul de U (5 pts)
\(U=\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2=(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)^2-2\lambda_1\lambda_2-2\lambda_1\lambda_3-2\lambda_2\lambda_3 ~, ~~donc~~ U=\sigma_1^2-2\sigma_2=b^2-2c.\)
Calcul de V (5 pts)
Tout d'abord d étant non nul, le nombre 0 n'est pas racine de P, les \(\lambda_k ~(1\le k \le 3)\) ne sont pas nuls et sont inversibles dans \(\mathbb{C}.\)
\(V=\frac {1}{\lambda_1} + \frac {1}{\lambda_2} +\frac {1}{\lambda_3}=\frac{\lambda_2\lambda_3+\lambda_1\lambda_3+\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1 \lambda_2 \lambda_2 },~donc~V=\frac {\sigma_2}{\sigma_3} =-\frac {c}{d}.\)
2.a Sens direct (3 pts)
Soit les nombres complexes non nuls x, y, z, ils sont les racines du polynôme
\((X-x)(X-y)(X-z)=X^3+bX^2+cX+d.\)
Si le triplet (x,y,z) est solution de (S), alors \(\sigma_1=2 , \,U=6 ,\, V=-\frac{1}{2}.\)
En utilisant les résultats de la question 1), les nombres \(b, c, d\) satisfont à
\(\left \{\begin{array}{lcl} -b=2 \\\\ b^2-2c=6 \\\\ -\frac {c}{d} = \frac {1}{2} \end{array} \right .\Rightarrow \left \{\begin{array}{lcl} b=-2 \\\\ c=-1 \\\\ d=2 \end{array} \right.\)
Donc les nombres \(x, y, z\) sont les racines du polynôme \(X^3-2X^2-X+2.\)
Réciproque (2 pts)
Si les nombres \(x, y, z\) sont les racines du polynôme \(X^3-2X^2-X+2,\) la question 1. entraîne
\(\sigma_1=2,~U=(-2)^2-2 \times (-1)=6 ~~et~~ V=-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2}.\)
Donc le triplet \((x,y,z)\) satisfait aux trois relations :
\(\left \{\begin{array}{lllllll} x&+&y&+&z&=&2 \\\\ x^2&+&y^2&+&z^2&=&6 \\\\ \frac {1}{x} &+& \frac {1}{y} &+&\frac {1}{z}&=&\frac {1}{2} \end{array} \right.\)
c'est à dire est une solution de \((S).\)
2.b Recherche des racines de \(Q\) (3 pts)
On remarque par exemple que \(Q(X)=X^2(X-2)-(X-2)=(X-2)(X^2-1)=(X-2)(X-1)(X+1).\)
Donc les racines de \(Q\) sont les nombres -1,1,2.
On aurait pu constater que \(Q(1)=0\) donc \(Q\) est divisible par \(X-1\) et le quotient est un trinôme du second degré dont on sait calculer les racines.
Conclusion : (2 pts)
Les expressions \(x+y+z ,~~ x^2+y^2+z^2 ,~~\frac {1}{x}+\frac {1}{y}+\frac {1}{z}\) sont des fonctions symétriques en x, y , z.
Enfin tout triplet construit avec les trois racines de \(Q\) est solution de \((S)\) et il n'y en a pas d'autre.
L'ensemble des solutions de \((S)\) est donc \(\left \{(-1,1,2),(-1,2,1),(1,-1,2),(1,2,-1),(2,-1,1),(2,1,-1) \right \}.\)