Recherche d'un reste dans une division euclidienne
Partie
Question
Soit n un entier supérieur ou égal à 1 et soit \(\alpha\) un réel.
Trouver le reste \(R(X)\) de la division euclidienne du polynôme \(P(X)=(\cos\alpha+X\sin\alpha)^n\) par le polynôme \(X^2+1\).
Aide simple
Se servir de la formule de Moivre : \((\cos x+i\sin x)^p=_cos px+i\sin px\).
Aide méthodologique
Ecrire l'identité de la division euclidienne de \(P(X)\) par \(X^2+1\), et en déduire la forme de \(R(X)\).
Considérer alors les fonctions polynômes associées à ces polynômes dans \(C\) pour pouvoir annuler certains termes.
Solution détaillée
D'après le théorème de la division euclidienne, on sait que
\(P(X)=(\cos\alpha+X\sin\alpha)^n=(X^2+1)Q(X)+R(X)\) avec \(R=0\) ou \(degR<2\).
Donc il existe des réels a et b tels que \(R(X)=aX+b\).
\(P(X)=(X^2+1)Q(X)+aX+b\).
On considère alors la fonction polynôme associée à \(P\) dans \(C\) (corps des complexes considéré comme \(R\)-algèbre), notée encore \(P\) puisque \(C\) est infini.
L'image du complexe \(i\) est alors : \(P(i)=(\cos\alpha+i\sin\alpha)^n=0.Q(i)+ai+b=ai+b\).
D'après la formule de Moivre : \((\cos\alpha+i\sin\alpha)^n=\cos n\alpha +i\sin n\alpha\).
Comme deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont égales, on obtient : \(a=\sin n\alpha\) et \(b=\cos n\alpha\).
Donc \(R(X)=(\sin n\alpha)X+\cos n\alpha\).