Décomposition d'un polynôme à coefficients complexes
Partie
Question
On considère dans \(C[X]\)le polynôme
\(P(X)=(2+2i)X^3+(1-5i)X^2+(1-2i)X-1+2i\)
Décomposer ce polynôme en produit de polynômes irréductibles sur \(C\) sachant qu'il a une racine réelle.
Aide simple
La racine a cherchée est racine de deux polynômes, donc le polynôme \(X-a\) sera un diviseur commun de ces deux polynômes, donc de leur PGCD.
Aide à la lecture
Ce polynôme est un polynôme à coefficients complexes, mais on sait qu'il a une racine réelle.
Aide méthodologique
Si a est la racine réelle cherchée, le complexe \(P(a)\) ne peut être nul que si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles.
Solution détaillée
On cherche à déterminer la ou les racines réelles de \(P\). On note \(a\) une telle racine. On considère la fonction polynôme associée à \(P\) dans \(C\).
On a \(P(a)=(2+2i)a^3+(1-5i)a^2+(1-2i)a-1+2i\).
Un nombre complexe étant nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles, on obtient le système :
\(\left\{\begin{array}{c}2a^3+a^2+a-1=0\\2a^3-5a^2-2a+2=0\end{array}\right.\)
On remarque que a est racine des deux polynômes à coefficients réels
\(A(X)=2X^3+X^2+X-1\) et \(B(X)=2X^3-5X^2-2X+2\).
Donc le polynôme \(X-a\) divise les polynômes \(A\) et \(B\) donc aussi leur PGCD.
On détermine donc ce PGCD par l'algorithme d'Euclide, en faisant des divisions successives. On obtient :
\(B(X)=A(X)-6X^2-3X+3=A(X)-3(2X^2+X-1)\)
\(A(X)=(2X^2+X-1)X+2X-1\)
\(2X^2+X-1=(2X-1)(X+1)\)
Donc \(PGCD(A(X),B(X))=X-\frac12\). Donc \(a=\frac12\) est racine de \(P\).
Donc il existe un polynôme \(Q(X)\) tel que \(P(X)=(X-\frac12)Q(X)\).
Pour trouver \(Q(X)\), on peut diviser \(P(X)\) par \(X-\frac12\).
On peut aussi utiliser le fait que \(P(X)=A(X)+iB(X)\).
En divisant \(A(X)\) et \(B(X)\) par \(2X-1\), on trouve :
\(A(X)=(2X-1)(X^2+X+1)\) et \(B(X)=(2X-1)(X^2-2X-2)\)
donc \(P(X)=(2X-1)\left[X^2+X+1+i(X^2-2X-2)\right]\).
On cherche ensuite les racines dans \(C\) du polynôme
\(X^2+X+1+i(X^2-2X-2)=(1+i)X^2+(i-2i)X+1-2i\)
\(\Delta=(1-2i)^2-6(1+i)(1-2i)=-15\)
Donc les deux autres racines de \(P\) sont
\(\alpha=\frac{-1+2i+i\sqrt{15}}{2+2i}=\frac{(1+\sqrt{15})+i(3+\sqrt{15})}{4}\)
\(\beta=\frac{-1+2i-i\sqrt{15}}{2+2i}=\frac{(1-\sqrt'15})+i(3-\sqrt{15})}{4}\)
Donc \(P(X)=(1+i)(2X-1)(X-\alpha)(X-\beta)\)
et cette décomposition est bien un produit de facteurs irréductibles puisque les polynômes du produit sont des polynômes unitaires distincts de degré 1.