Dérivées successives en un point [Fonctions polynômes]

Dérivées successives en un point

Déterminer un polynôme \(P\), à coefficients réels satisfaisant à

\(P(1)=5\), \(P'(1)=-3\), \(P''(1)=4\), \(P^{(h)}(1)=0\) \(\forall h \geq 3\)

\(P^{(h)}\) désigne la dérivée \(h\)-ième de \(P\).

Rechercher d'abord une condition nécessaire en appliquant la formule de Taylor puis vérifier que la condition trouvée est suffisante.

Le polynôme nul ne convient pas.

Soit \(P\) un polynôme non nul de degré \(n\), d'après la formule de Taylor il vérifie :

\(P(X)=\displaystyle{\sum^{k=n}_{k=0}}\frac{P^{(k)}(1)}{k!}(X-1)^k\).

Si \(P\) satisfait aux hypothèses alors \(P(X)=P(1)+\frac{P'(1)}{1}(X-1)+\frac{P''(1)}{1\times 2}(X-1)^2\)

donc \(P(X)=5-3(X-1)+2(X-1)^2=2X^2-7X+10\).

Réciproquement il est immédiat de vérifier que le polynôme \(2X^2-7X+10\) satisfait aux hypothèses.

Conclusion : \(2X^2 -7X+10\) est l'unique polynôme satisfaisant aux hypothèses.