Racine multiple
Partie
Question
Soit \(K\) le corps \(R\) ou \(C\), \(P\) un élément de \(K[X]\) et a un élément de \(K\).
On appelle \(Q\) le polynôme défini par \(Q(X)=(X-a)[P'(X)+P'(a)]-2[P(X)-P(a)]\).
Montrer que \(a\) est une racine multiple de \(Q\) dans le corps \(K\).
Aide simple
Attention : Dans \(Q(X)\), \(P'(a)\) et \(P(a)\) sont des termes constants dont les dérivées sont nulles.
Aide à la lecture
Une racine multiple est une racine au moins double.
Aide méthodologique
Calculer les valeurs en \(a\) des fonctions polynômes attachées à \(Q\) et \(Q'\).
Solution détaillée
On calcule \(Q_(a)\): \(Q(a)=0\times 2P'(a)-2\times 0=0\).
Donc \(a\) est une racine de \(Q\) dans \(K\).
Pour avoir des informations sur l'ordre de multiplicité, on utilise le théorème qui caractérise l'ordre de multiplicité d'une racine à l'aide des polynômes dérivés successifs.
On calcule tout d'abord le polynôme dérivé
\(\begin{array}{ccc}Q'(X)&=&[P'(X)+P'(a)]+(X-a)P''(X)-2P'(X)\\&=&-P'(X)+P'(a)+(X-a)P''(X)\end{array}\)
On en déduit \(Q'(a)=0\).
Le scalaire \(a\) est une racine au moins double donc une racine multiple de \(Q\) dans \(K\).
Question
Que peut-on dire de l'ordre de multiplicité de cette racine ?
Aide simple
Attention : Dans \(Q(X)\), \(P'(a)\) et \(P(a)\) sont des termes constants dont les dérivées sont nulles.
Aide méthodologique
Explorer les dérivées suivantes.
Solution détaillée
On calcule les polynômes dérivés suivants
\(\begin{array}{ccc}Q''(X)&=&-P''(X)+P''(X)+(X-a)P''(X)\\&=&(X-a)P'''(X)\end{array}\)
\(Q'''(X)=P'''(X)+(X-a)P^{(4)}(X)\)
On en déduit \(Q''(a)=0\), \(Q'''(a)=P'''(a)\).
On ne possède aucune information sur le scalaire \(P'''(a)\), d'où on conclut que :
Le scalaire a est une racine au moins triple donc l'ordre de la racine a de \(Q\) est supérieur ou égal à 3.