Fonctions polynômes

On calcule $Q_(a)$: $Q(a)=0\times 2P'(a)-2\times 0=0$.

Donc $a$ est une racine de $Q$ dans $K$.

Pour avoir des informations sur l'ordre de multiplicité, on utilise le théorème qui caractérise l'ordre de multiplicité d'une racine à l'aide des polynômes dérivés successifs.

On calcule tout d'abord le polynôme dérivé

$\begin{array}{ccc}Q'(X)&=&[P'(X)+P'(a)]+(X-a)P''(X)-2P'(X)\\&=&-P'(X)+P'(a)+(X-a)P''(X)\end{array}$

On en déduit $Q'(a)=0$.

Le scalaire $a$ est une racine au moins double donc une racine multiple de $Q$ dans $K$.

On calcule les polynômes dérivés suivants

$\begin{array}{ccc}Q''(X)&=&-P''(X)+P''(X)+(X-a)P''(X)\\&=&(X-a)P'''(X)\end{array}$

$Q'''(X)=P'''(X)+(X-a)P^{(4)}(X)$

On en déduit $Q''(a)=0$, $Q'''(a)=P'''(a)$.

On ne possède aucune information sur le scalaire $P'''(a)$, d'où on conclut que :

Le scalaire a est une racine au moins triple donc l'ordre de la racine a de $Q$ est supérieur ou égal à 3.