Racines n-ièmes de l'unité
Partie
Question
Soit \(n\) un entier strictement positif et \(P_n\) le polynôme \(P_n(X)=X^n-1\).
Rechercher les racines de \(P_n\) dans le corps \(C\).
Pour les cas \(n=2,3,4\) expliciter les racines et dessiner leurs images dans le plan complexe.
Aide simple
Rappel de la formule de Moivre :
\((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\), \(n\in N^*\).
Aide méthodologique
Rechercher les racines sous la forme trigonométrique \(z=r(\cos\theta +i\sin \theta)\), \(r\in R^{*+}\), \(\theta \in R\)
Solution détaillée
On cherche les nombres complexes \(z\) satisfaisant à \(z^n-1=0\),
on constate que 0 n'est pas racine de \(P_n\)
donc on peut utiliser la forme trigonométrique \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\), \(r\in R^{*+}\),\( \theta \in R\).
Alors, compte-tenu de la formule de Moivre \((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\), \(n\in N^*\),
\(z^n-1=0\Leftrightarrow r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)=1 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}r^n=1\\n\theta=2k\pi,k\in Z\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}r=1\\theta=\frac{2k\pi}{n},k\in Z\end{array}\right.\)
Tous les nombres obtenus ont pour module 1, ils seront distincts si la différence de leurs arguments n'est pas un multiple entier de \(2\pi\).
On trouve donc \(n\) racines complexes de \(P_n\), appelées racines \(n\)-ièmes de l'unité.
\(\omega_k=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}\), \(0\leq k\leq n-1\).
Les images des \(n\) racines \(n\)-ièmes de l'unité sont les sommets d'un polygone régulier de \(n\) côtés, sommets situés sur le cercle unité de centre O.
Cas particuliers :
\(n=2\), deux racines carrées \(\omega_0=1, \omega_1=-1\).
\(n=3\), trois racines cubiques \(\omega_0=1, \omega_1=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}=-\frac12+i\frac{\sqrt{3}}{2}=j, \omega_2=\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac12-i\frac{\sqrt{3}}{2}=j^2\)
\(n=4\), quatre racines \(4\)-ièmes \(\omega_0=1, \omega_1=i, \omega_2=-2, \omega_3=-i\).
Voici leurs représentations dans le plan complexe :
Les racines cubiques sont les affixes des sommets du triangle équilatéral ACD.
Les racines \(4\)-ièmes sont les affixes des sommets du carré AEBF.
Question
Donner la décomposition de \(P_n\) en facteurs irréductibles de \(C[X]\).
Aide simple
Rappel de la formule de Moivre :
\((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\), \(n\in N^*\).
Solution détaillée
Le polynôme \(P_n\) est unitaire, de degré \(n\) et possède \(n\) racines simples dans \(C\) donc sa décomposition en facteurs irréductibles dans \(C[X]\) est
\(P_n(X)=\displaystyle\sum^{k=n-1}_{k=0}\left(X-\cos\frac{2k\pi}{n}-i\sin\frac{2k\pi}{n}\right)\).
Question
Rechercher les racines de \(P_n\) dans le corps \(R\) et donner la décomposition de \(P_n\) en facteurs irréductibles de \(R[X]\).
Aide simple
Rappel de la formule de Moivre :
\((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\), \(n\in N^*\).
Aide méthodologique
Distinguer les cas \(n\) pair et \(n\) impair.
Solution détaillée
Pour étudier les racines réelles on distingue deux cas.
Cas où \(n\) est pair \(n=2q\)
Parmi les racines complexes \(\omega_k=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}\), \(0\leq k\leq n-1\),
deux seulement sont réelles \(\omega_0=1\), \(\omega_q=-1\),
et les autres sont conjuguées 2 à 2. En effet
\(1\leq k\leq q-1\) \(\cos\frac{(2q-k)\pi}{q}=\cos\frac{k\pi}{q}, \sin\frac{(2q-k)\pi}{q}=-\sin\frac{k\pi}{q}\)
\(\omega_{2q-k}=\bar{\omega}_k\)
D'où la décomposition en facteurs irréductibles dans \(R[X]\):
\(X^{2q}-1=(X+1)(X-1)\displaystyle \sum^{k=q-1}_{k=1}(X^2-2\cos\frac{k\pi}{q}X+1)\)
Cas où \(n\) est impair \(n=2q+1\)
Parmi les racines complexes \(\omega_k=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}\), \(0\leq k\leq n-1\),
une seule est réelle \(\omega_0=1\),
et les autres sont conjuguées 2 à 2. En effet
\(1\leq k\leq q\) \(\cos\frac{2(2q+1-k)\pi}{2q+1}=\cos\frac{2k\pi}{2q+1}\), \(\sin\frac{2(2q+1-k)\pi}{2q+1}=-\sin\frac{2k\pi}{2q+1}\)
\(\omega_{2q+1-k}=\bar{\omega}_k\)
D'où la décomposition en facteurs irréductibles dans \(R[X]\)
\(X^{2q+1}-1=(X-1)\displaystyle\sum^{k=q}_{k=1}(X^2-2\cos\frac{2k\pi}{2q+1}X+1)\)