Produit de sinus [Fonctions polynômes]

Produit de sinus

Soit \(n\) un entier strictement positif et \(A_n(X)=X^{2(n-1)}+X^{2(n-2)}+\ldots+X^2+1\).

A partir du calcul de \((X^2-1)A_n(X)\), trouver la décomposition de \(A_n\) en facteurs irréductibles de \(R[X]\).

Rappel : \(X^{2n}-1=(X+1)(X-1)\displaystyle\prod^{k=n-1}_{k=1}(X^2-2\cos\frac{k\pi}{n}X+1)\).

Effectuer le produit proposé et obtenir un polynôme étudié dans l'exercice : 'Racines n-ièmes de l'unité'.

Le produit demandé s'écrit :

\(\begin{array}{cc}(X^2-1)A_n(X)=X^{2n} &+X^{2(n-1)}+\ldots+X^4+X^2\\&-X^{2(n-1)}-\ldots-X^4-X^2-1\end{array}\)

donc \((X^2-1)A_n(X)=X^{2n}-1\).

Dans l'exercice racines \(n\)-ièmes de l'unité on a démontré

\(X^{2n}-1=(X+1)(X-1)\displaystyle\prod^{k=n-1}_{k=1}(X^2-2\cos\frac{k\pi}{n}X+1)\).

L'anneau \(R[X]\) étant intègre, on en déduit la décomposition cherchée :

\(A_n(X)=\displaystyle\prod^{k=n-1}_{k=1}(X^2-2\cos\frac{k\pi}{n}X+1)\).

En utilisant \(A_n(1)\), donner la valeur du produit \(\prod_n=\displaystyle\sin\frac{k\pi}{2n}\).

Rappel de trigonométrie :

\(\cos2a=1-2\sin^2\alpha\) donc \(1-\cos2\alpha=2\sin^2\alpha\)

Calculer \(A_n(1)\) de deux façons.

On a deux moyens de calculer \(A_n(1)\), en utilisant :

soit la définition de \(A_n\), \(A_n(1)=1+\ldots+1+1=n\),
soit la décomposition de \(A_n\), \(A_n(1)=\displaystyle\prod^{k=n-1}_{k=1}(2-2\cos\frac{k\pi}{n})=2^{n-1}\displaystyle\prod^{k=n-1}_{k=1}(1-\cos\frac{k\pi}{n})\).

Or \(1-\cos\frac{k\pi}{n}=2\sin^2\frac{k\pi}{2n}\), donc \(2^{2(n-1)}\displaystyle\prod^{k=n-1}_{k=1}\sin^2\frac{k\pi}{2n}=n\).

De plus \(\forall k\), \(1\leq k\leq n-1\), \(\sin\frac{k\pi}{2n}>0\).

On en déduit \(\prod_n=\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}\).