Factorisation d'un polynôme de degré 4
Partie
Question
Soit le polynôme à coefficients réels \(P(X)=2X^4-7X^3+9X^2-7X+2\).
1. Montrer que si \(\alpha\) est une racine complexe de \(P\), \(\alpha\) n'est pas nul et \(\frac1\alpha\) est aussi une racine de \(P\).
Aide simple
Rappel du théorème : Relations entre coefficients et racines
Si \(P(X)=aX^4+bX^3+cX^2+dX+e\), \(a\neq 0\), \(\sigma_1=-\frac ba\), \(\sigma_2=\frac ca\).
Aide à la lecture
Les deux premières fonctions symétriques élémentaires des racines sont
\(\sigma_1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4\),
\(\sigma_2=\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_1\lambda_4+\lambda_2\lambda_3+\lambda_2\lambda_4+\lambda_3\lambda_4\)
Aide méthodologique
En introduisant les nombres \(u\) et \(v\), on remplace la recherche des racines du polynôme \(P\), de degré 4, par la recherche des racines de deux polynômes de degré 2.
Solution détaillée
Comme tout polynôme non constant de \(C[X]\), le polynôme \(P\) a au moins une racine dans \(C\).
Il est immédiat que 0 n'est pas racine de \(P\), donc si \(\alpha\) est une racine complexe de \(P\), \(\alpha\neq 0\) et \(P(\alpha)=0\).
Donc \(\alpha\) est inversible dans \(C\) et \(2\alpha^4-7\alpha^3+9\alpha^2-7\alpha+2=0\).
D'où, en divisant par \(\alpha^4\), \(2-7\frac {1}{\alpha}+9\frac {1}{\alpha^2}-7\frac {1}{\alpha^3}+2\frac{1}{\alpha^4}=0\), ce qui peut s'écrire \(P\left(\frac 1\alpha\right)=0\).
Ainsi le nombre complexe \(\frac 1\alpha\) est racine de \(P\).
Question
2. On note \(\lambda_1=\alpha\), \(\lambda_2=\frac1\alpha\), \(\lambda_3=\beta\), \(\lambda_4=\frac1\beta\) les racines complexes de \(P\).
On définit les nombres \(u\) et \(v\) par \(u=\alpha+\frac1\alpha\), \(v=\beta+\frac1\beta\).
a. Exprimer les fonctions symétriques élémentaires \(\sigma_1\) et \(\sigma_2\) à l'aide de \(u\) et \(v\).
Aide simple
Rappel du théorème : Relations entre coefficients et racines
Si \(P(X)=aX^4+bX^3+cX^2+dX+e\), \(a\neq 0\), \(\sigma_1=-\frac ba\), \(\sigma_2=\frac ca\).
Aide à la lecture
Les deux premières fonctions symétriques élémentaires des racines sont
\(\sigma_1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4\),
\(\sigma_2=\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_1\lambda_4+\lambda_2\lambda_3+\lambda_2\lambda_4+\lambda_3\lambda_4\)
Aide méthodologique
En introduisant les nombres \(u\) et \(v\), on remplace la recherche des racines du polynôme \(P\), de degré 4, par la recherche des racines de deux polynômes de degré 2.
Solution détaillée
Calcul de \(\sigma_1\)
\(\sigma_1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4\) donc \(\sigma_1=u+v\).
Calcul de \(\sigma_2\)
\(\sigma_2=\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_1\lambda_4+\lambda_2\lambda_3+\lambda_2\lambda_4+\lambda_3\lambda_4\)
donc \(\sigma_2=1+\alpha\beta+\frac\alpha\beta+\frac\beta\alpha+\frac{1}{\alpha\beta}+1\) et \(\sigma_2=2+uv\).
Question
b. En déduire l'ensemble \(\{u,v\}\).
Aide simple
Rappel du théorème : Relations entre coefficients et racines
Si \(P(X)=aX^4+bX^3+cX^2+dX+e\), \(a\neq 0\), \(\sigma_1=-\frac ba\), \(\sigma_2=\frac ca\).
Aide à la lecture
Les deux premières fonctions symétriques élémentaires des racines sont
\(\sigma_1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4\),
\(\sigma_2=\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_1\lambda_4+\lambda_2\lambda_3+\lambda_2\lambda_4+\lambda_3\lambda_4\)
Aide méthodologique
En introduisant les nombres \(u\) et \(v\), on remplace la recherche des racines du polynôme \(P\), de degré 4, par la recherche des racines de deux polynômes de degré 2.
Solution détaillée
En appliquant le théorème : Relations entre coefficients et racines, on obtient \(\sigma_1=\frac72\) et \(\sigma_2=\frac92\).
En utilisant les résultats du a. les nombres \(u\) et \(v\) vérifient le système \(\left\{\begin{array}{c}u+v=\frac72\\uv=\frac52\end{array}\right.\).
Ces nombres sont les racines du polynôme
\(Q(X)=(X-u)(X-v)=X^2-(u+v)X+uv=X^2-\frac72X+\frac52\)
Or \(Q(X)=\left(X-\frac74\right)^2-\frac{49}{16}+\frac52=\left(X-\frac74\right)^2-\frac{9}{16}=\left(X-\frac74+\frac34\right)\left(X-\frac74-\frac34\right)\).
D'où \(Q(X)=(X-1)\left(X-\frac52\right)\).
Les racines de \(Q\) sont 1 et \(\frac52\). D'où \(\{u,v\}=\left\{1,\frac52\right\}\).
Remarque : on aurait pu observer que 1 est racine de \(Q\) et en déduire l'autre racine de \(Q\).
Question
3. Calculer les racines de \(P\) dans \(C\).
Aide simple
Rappel du théorème : Relations entre coefficients et racines
Si \(P(X)=aX^4+bX^3+cX^2+dX+e\), \(a\neq 0\), \(\sigma_1=-\frac ba\), \(\sigma_2=\frac ca\).
Aide à la lecture
Les deux premières fonctions symétriques élémentaires des racines sont
\(\sigma_1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4\),
\(\sigma_2=\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_1\lambda_4+\lambda_2\lambda_3+\lambda_2\lambda_4+\lambda_3\lambda_4\)
Aide méthodologique
En introduisant les nombres \(u\) et \(v\), on remplace la recherche des racines du polynôme \(P\), de degré 4, par la recherche des racines de deux polynômes de degré 2.
Solution détaillée
Pour trouver les racines complexes de \(P\), il nous suffit de calculer les complexes non nuls satisfaisant à : \(\alpha+\frac1\alpha=1\) (1) et \(\beta+\frac1\beta=\frac52\) (2).
(1) \(\Leftrightarrow \alpha^2-\alpha+1=0 \Leftrightarrow\left(\alpha-\frac12\right)^2+\frac34=0 \Leftrightarrow \left(\alpha-\frac12-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\alpha-\frac12+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=0\)
Donc \(\{\lambda_1,\lambda_2\}=\left\{\frac12+i\frac{\sqrt{3}}{2},\frac12-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}=\left\{\exp^{i\frac\pi3},\exp^{-i\frac\pi3}\right\}\).
De même (2) \(\Leftrightarrow \beta^2-\frac52\beta+1=0\Leftrightarrow \left(\beta-\frac54\right)^2-\frac{9}{12}=0 \Leftrightarrow (\beta-2)\left(\beta-\frac12\right)=0\).
Donc \(\{\lambda_3,\lambda_4\}=\left\{\frac12,2\right\}\).
L'ensemble des racines complexes de \(P\) est \(\left\{\frac12+i\frac{\sqrt{3}}{2},\frac12-i\frac{\sqrt{}3}{2},\frac12,2\right\}\).
Question
4. Donner la décomposition de \(P\) en facteurs irréductibles de \(R[X]\).
Aide simple
Rappel du théorème : Relations entre coefficients et racines
Si \(P(X)=aX^4+bX^3+cX^2+dX+e\), \(a\neq 0\), \(\sigma_1=-\frac ba\), \(\sigma_2=\frac ca\).
Aide à la lecture
Les deux premières fonctions symétriques élémentaires des racines sont
\(\sigma_1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4\),
\(\sigma_2=\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_1\lambda_4+\lambda_2\lambda_3+\lambda_2\lambda_4+\lambda_3\lambda_4\)
Aide méthodologique
En introduisant les nombres \(u\) et \(v\), on remplace la recherche des racines du polynôme \(P\), de degré 4, par la recherche des racines de deux polynômes de degré 2.
Solution détaillée
Le polynôme \(P\) possède 2 racines réelles et 2 racines non réelles, complexes conjuguées. Ceci va donner naissance à 3 facteurs irréductibles dans \(R[X]\).
\(P(X)=2\left(X-\frac12\right)(X-2)(X^2-X+1)\)