Polynôme de degré 4 ayant deux racines doubles
Partie
Question
Soit le polynôme \(P(X)=X^4-4X^3+cX^2+dX+1\), \((c,d)\in R^2\).
Existe-t-il des réels \(c\) et \(d\) tels que \(P\) possède deux racines doubles dans \(C\) ?
Dans le cas d'une réponse positive, calculer les racines de \(P\).
Aide simple
\((D)\Leftrightarrow \exists (u,v)\in C^2, P(X)=(X^2+uX+v)^2, u^2-4v\neq 0\)
Aide méthodologique
Caractériser la propriété : \((D)\) : \(P\) possède deux racines doubles dans \(C\) par une propriété portant sur un polynôme de degré 2.
Solution détaillée
La propriété \((D)\): \(P\) possède deux racines doubles dans \(C\) équivaut à :
\(\exists \alpha,\beta\in C, \alpha\neq\beta, P(X)=(X-\beta)^2(X-\beta)^2=[(X-\alpha)(X-\beta)]^2\) qui équivaut à :
\(P\) est le carré d'un polynôme de \(C[X]\), de degré 2 ayant 2 racines distinctes.
Ainsi \((D) \Leftrightarrow \exists(u,v)\in C^2\), \(P(X)=(X^2+uX+v)^2\), \(u^2-4v\neq 0\)
Or \((X^2+uX+v)^2=X^4+2uX^3+(u^2+2v)X^2+2uvX+v^2\).
Donc \((D)\Leftrightarrow \exists (u,v)\in C^2\), \(\left\{\begin{array}{cc}2u=-4&(1)\\u^2+2v=c&(2)\\2uv=d&(3)\\v^2=1&(4)\end{array}\right.\), \(u^2-4v\neq 0 (5)\).
A partir de (1), (4) et (5) on obtient \(u=-2, v=-1\).
Les relations (2) et (3) impliquent \(c=2,d=4\).
Alors \(P(X)=X^4-4X^3+2X^2+4X+1=(X^2-2X-1)^2\),
\(X^2-2X-1=(X-1)^2-2=(X-1-\sqrt{2})(X-1+\sqrt{2})\).
Conclusion : Il existe des réels uniques \(c=2,d=4\), tels que \(P\) possède deux racines doubles dans \(C\). Dans ce cas, les racines doubles de \(P\) sont \(1+\sqrt{2}\) et \(1-\sqrt{2}\).
Remarques :
Si on oublie la condition \(u^2-4v\neq 0\), on trouve aussi \(u=-2, v=-1\) ce qui entraîne
\(c=6,d=4\). Mais alors \(P(X)=(X-1)^4\) qui ne possède pas de racine double.
L'utilisation de la dérivation ne présente aucun intérêt dans ce cas, en effet le polynôme dérivé est un polynôme de degré 3, dont les racines ne sont pas apparentes.