Endomorphisme d'un espace de dimension 3
Durée : 20 mn
Note maximale : 10
Question
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension 3 sur \(R\), et \(B=(e_1,e_2,e_3)\) une base de \(E\).
On considère l'endomorphisme de \(E\) défini par :
\(f(e_1)=5e_1+6e_2+4e_3\), \(f(e_2)=-3e_1-4e_2-4e_3\), \(f(e_3)=2e_1+4e_2+5e_3\)
Montrer que \(f\) est diagonalisable, trouver une base de \(E\) formée de vecteurs propres de \(f\) et écrire la matrice de \(f\) dans cette base.
Solution
Soit \(A\) la matrice de \(f\) dans la base \(B\) : \(A=\left(\begin{array}{cccccc}5&-3&2\\6&-4&4\\4&-4&5\end{array}\right)\).
Pour déterminer les valeurs propres de \(f\) on calcule le polynôme caractéristique de \(f\).
\(P_{car,f}(X)=\textrm{det}(A-XI_3)=\left|\begin{array}{ccc}5-X&-3&2\\6&-4-X&4\\4&-4&5-X\end{array}\right|\)
En ajoutant la colonne 2 à la colonne 1 on fait apparaître une factorisation par \(2-X\) :
\(P_{car,f}(X)=\left|\begin{array}{ccc}2-X&-3&2\\2-X&-4-X&4\\0&-4&5-X\end{array}\right|=(2-X)\left|\begin{array}{ccc}1&-3&2\\1&-4-X&4\\0&-4&5-X\end{array}\right|\)
On enlève la ligne 1 à la ligne 2 :
\(P_{car,f}(X)=(2-X)\left|\begin{array}{ccc}1&-3&2\\0&-1-X&2\\0&-4&5-X\end{array}\right|=(2-X)(X^2-4X+3)=(2-X)(X-3)(X-1)\)
[3 points]
L'endomorphisme \(f\) de \(R^3\) a trois valeurs propres distinctes \(\lambda_1=1\), \(\lambda_2=2\) et \(\lambda_3=3\), il est donc diagonalisable.
[1 point]
Soit \(E_{\lambda_1}\) le sous-espace propre associé à la valeur propre \(\lambda_1=1\) et \(u=xe_1+ye_2+ze_3\) un vecteur de \(E\).
\(u\in E_{\lambda_1}\Leftrightarrow f(u)=u\Leftrightarrow(A-I_3)\left(\begin{array}{cccccc}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}0\\0\\0\end{array}\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}4x-3y+2z=0\\6x-5y+4z=0\\4x-4y+4z=0\end{array}\right.\)
\(u\in E_{\lambda_1}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}4x&-3y&+2z&=0\\6x&-5y&+4z&=0\\x&-y&+z&=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}2x&-y&&=0&L_1\leftarrow L_1-2L_3\\2x&-y&&=0&L_2\leftarrow L_2-4L_3\\x&-y&+z&=0&\end{array}\right.\)
\(u\in E_{\lambda_1}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}y=2x\\z=x\end{array}\right.\)
\(u\in E_{\lambda_1}\Leftrightarrow\exists x\in R,u=x(e_1+2e_2+e_3)\)
\(E_{\lambda_1}\) est la droite vectorielle de base \(u_1=e_1+2e_2+e_3\).
[2 points]
Soit \(E_{\lambda_2}\) le sous-espace propre associé à la valeur propre \(\lambda_2=2\) et \(u=xe_1+ye_2+ze_3\) un vecteur de \(E\).
\(u\in E_{\lambda_2}\Leftrightarrow f(u)=2u\Leftrightarrow(A-2I_3)\left(\begin{array}{cccccc}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}0\\0\\0\end{array}\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}3x-3y+2z=0\\6x-6y+4z=0\\4x-4y+3z=0\end{array}\right.\)
Les deux premières équations sont équivalentes.
\(u\in E_{\lambda_2}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}3x-3y+2z=0\\4x-4y+3z=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}3x-3y+&2z=0&\\&z=0&L_2\leftarrow3L_2-4L_1\end{array}\right.\)
\(u\in E_{\lambda_2}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}y=x\\z=0\end{array}\right.\)
\(u\in E_{\lambda_2}\Leftrightarrow\exists x\in\mathbb R,u=x(e_1+e_2)\)
\(E_{\lambda_2}\) est la droite vectorielle de base \(u_2=e_1+e_2\).
[1 point]
Soit \(E_{\lambda_3}\) le sous-espace propre associé à la valeur propre \(\lambda_3=3\) et \(u=xe_1+ye_2+ze_3\) un vecteur de \(E\).
\(u\in E_{\lambda_3}\Leftrightarrow f(u)=3u\Leftrightarrow(A-3I_3)\left(\begin{array}{cccccc}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}0\\0\\0\end{array}\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}2x-3y+2z=0\\6x-7y+4z=0\\4x-4y+2z=0\end{array}\right.\)
\(u\in E_{\lambda_3}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}2x-&3y&+2z&=0&&\\2x-&y&&=0&L_2\leftarrow L_2-2L_1&\Leftrightarrow\Bigg\lbrace\begin{array}{ccccccc}y=2x\\z=2x\end{array}\\2x-&y&&=0&L_2\leftarrow L_3-L_1&\end{array}\right.\)
\(u\in E_{\lambda_3}\Leftrightarrow\exists x\in\mathbb R,u=x(e_1+2e_2+2e_3)\)
\(E_{\lambda_3}\) est la droite vectorielle de base \(u_3=e_1+2e_2+2e_3\).
[1 point]
Les vecteurs \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\) sont des vecteurs propres associés à trois valeurs propres distinctes. Ils sont donc linéairement indépendants et forment une base de \(E\).
Soit \(B'=(u_1,u_2,u_3)\). Comme \(f(u_1)=u_1\), \(f(u_2)=2u_2\), \(f(u_3)=3u_3\) la matrice \(D\) de \(f\) dans la base \(B'\) est : \(D=\left(\begin{array}{cccccc}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{array}\right)\).
La matrice de passage de la base \(B\) à la base \(B'\) est \(P=\left(\begin{array}{cccccc}1&1&1\\2&1&2\\1&0&2\end{array}\right)\) et \(A=PDP^{-1}\).
[2 points]