Endomorphisme ou matrice diagonalisable

Pour déterminer les valeurs propres de \(f\) on calcule le polynôme caractéristique de \(f\).

\(P_{car,f}(X)=\textrm{det}(A-XI_3)=\left|\begin{array}{ccc}-X&1&1\\1&-X&1\\1&1&-X\end{array}\right|\)

En ajoutant à la ligne 1 la somme des deux autres lignes on fait apparaitre une factorisation par \(2-X\).

\(P_{car,f}(X)=\left|\begin{array}{ccc}2-X&2-X&1\\1&-X&1\\1&1&-X\end{array}\right|=(2-X)\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&-X&1\\1&1&-X\end{array}\right|\)

On retranche la ligne 1 à la ligne 3.

\(P_{car,f}(X)=(2-X)\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&-X&1\\0&0&-1-X\end{array}\right|=(2-X)(-X-1)^2=(2-X)(1+X)^2\)

[1 point]

Le polynôme caractéristique de \(f\) est scindé dans \(R\).

L'endomorphisme \(f\) de \(R^3\) a deux valeurs propres distinctes : \(\lambda_1=-1\) est une valeur propre double, \(\lambda_2=2\) est une valeur propre simple.

L'endomorphisme \(f\) est diagonalisable si et seulement si, pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.

La dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre simple est égale à 1.

Donc \(f\) est diagonalisable si et seulement si la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre double est égale à 2.

Soit \(E_{\lambda_1}\) le sous-espace propre associé à la valeur propre double \(\lambda_1=-1\) et \(u=(x,y,z)\) un vecteur de \(R^3\).

\(u\in E_{\lambda_1}\Leftrightarrow f(u)=-u\Leftrightarrow(A+I_3)\left(\begin{array}{cccccc}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}0\\0\\0\end{array}\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}x+y+z=0\\x+y+z=0\\x+y+z=0\end{array}\right.\)

\(u\in E_{\lambda_1}\Leftrightarrow x+y+z=0\)

\(E_{\lambda_1}\) est un plan vectoriel de \(R^3\). L'endomorphisme \(f\) est donc diagonalisable.

[2 points]

On détermine maintenant une base de \(R^3\) formée de vecteurs propres de \(f\).

Les vecteurs \(u_1=(1,0,-1)\) et \(u_2=(0,1,-1)\) sont deux vecteurs non colinéaires de \(E_{\lambda_1}\), ils forment donc une base de \(E_{\lambda_1}\).

[1 point]

Soit \(E_{\lambda_2}\) le sous-espace propre associé à la valeur propre \(\lambda_2=2\) et \(u=(x,y,z)\) un vecteur de \(R^3\).

\(u\in E_{\lambda_2}\Leftrightarrow f(u)=2u\Leftrightarrow(A-2I_3)\left(\begin{array}{cccccc}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}0\\0\\0\end{array}\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}-2x+y+z=0\\x-2y+z=0\\x+y-2z=0\end{array}\right.\)

Les opérations suivantes \(L_2\leftarrow L_2-L_1,L_3\leftarrow L_3+2L_1\) transforment le système en un système équivalent :

\(u\in E_{\lambda_2}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}-2x&+&y&+z&=0&\\3x&-&3y&&=0&\Leftrightarrow\Bigg\lbrace\begin{array}{cccccc}y=x\\z=x\end{array}\\-3x&+&3y&&=0&\end{array}\right.\)

\(u\in E_{\lambda_2}\Leftrightarrow\exists x\in\mathbb R,u=x(1,1,1)\)

\(u\in E_{\lambda_2}\) est la droite vectorielle de base \(u_3=(1,1,1)\).

[1 point]

\((u_1,u_2)\) est une base de \(E_{\lambda_1}\), \((u_3)\) est une base de \(E_{\lambda_2}\) donc la famille \(\{u_1,u_2,u_3\}\) est libre et les vecteurs \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\) forment une base de \(R^3\).

Soit \(B'=(u_1,u_2,u_3)\). Comme \(f(u_1)=-u_1\), \(f(u_2)=-u_2\), \(f(u_3)=2u_2\) la matrice \(A'\) de \(f\) dans la base \(B'\) est : \(A'=\left(\begin{array}{cccccc}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&2\end{array}\right)\).

La matrice de passage de la base \(B\) à la base \(B'\) est \(P=\left(\begin{array}{cccccc}1&0&1\\0&1&1\\-1&-1&1\end{array}\right)\) et \(A=PA'P^{-1}\).

\(A=PA'P^{-1}\) et pour tout entier \(n\) strictement positif, \(A^n=PA'^nP^{-1}\).

\(A'^n=\left(\begin{array}{cccccc}(-1)^n&0&0\\0&(-1)^n&0\\0&0&2^n\end{array}\right)\)

La matrice \(P^{-1}\) est la matrice de passage de la base \(B'=(u_1,u_2,u_3)\) à la base \(B=(e_1,e_2,e_3)\).

\(\left\{\begin{array}{cccccc}u_1=&e_1&&&-e_3\\u_2=&&&e_2&-e_3\\u_3=&e_1&+&e_2&+e_3\end{array}\right.\) d'où \(\left\{\begin{array}{cccccc}u_1&=&e_1&&&-e_3\\u_2&=&&&e_2&-e_3\\u_3-u_1-u_2&=&&&&3e_3\end{array}\right.\)

\(\left\{\begin{array}{cccccc}e_1=&\frac{1}3&(2u_1-u_2+u_3)\\e_2=&\frac{1}3&(-u_1+2u_2+u_3)\\e_3=&\frac{1}3&(-u_1-u_2+u_3)\end{array}\right.\)

et \(P^{-1}=\frac{1}3\left(\begin{array}{cccccc}2&-1&-1\\-1&2&-1\\1&1&1\end{array}\right)\)

\(PA'^n=\left(\begin{array}{cccccc}(-1)^n&0&2^n\\0&(-1)^n&2^n\\(-1)^{n+1}&(-1)^{n+1}&2^n\end{array}\right)\) et \(A^n=PA'^nP^{-1}=\frac{1}3\left(\begin{array}{ccc}2^n+2(-1)^n&2^n+(-1)^{n+1}&2^n+(-1)^{n+1}\\2^n+(-1)^{n+1}&2^n+2(-1)^n&2^n+(-1)^{n+1}\\2^n+(-1)^{n+1}&2^n+(-1)^{n+1}&2^n+2(-1)^n\end{array}\right)\)