Valeur propre complexe d'une matrice réelle
Durée : 10 mn
Note maximale : 10
Question
Soit \(M\) une matrice carrée d'ordre 2 à coefficients réels, admettant une valeur propre complexe \(\lambda\) non réelle.
Montrer que \(M\) est diagonalisable dans \(M_2(\mathbb C)\) (ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients complexes).
En déduire que 1 est une valeur propre de \(M^n (n>1)\) si et seulement si \(M^n=I_2\), où I2 est la matrice unité d'ordre 2, et donner une condition nécessaire et suffisante vérifiée par \(\lambda\) pour que cette relation soit vérifiée.
Solution
Les valeurs propres de \(M\) sont les racines de son polynôme caractéristique.
Le polynôme caractéristique de \(M\) est à coefficients réels, comme \(\lambda\) est une racine complexe non réelle, sa conjuguée \(\overline{\lambda}\) est aussi racine de ce polynôme et est distincte de \(\lambda\).
Comme \(M\) est une matrice carrée d'ordre 2, son polynôme caractéristique est de degré 2, et comme ce polynôme admet deux racines distinctes, \(M\) est diagonalisable dans \(M_2(\mathbb C)\).
D'après la question 1., \(M\) est diagonalisable, donc il existe une matrice \(P\) inversible de \(M_2(\mathbb C)\), telle que :
\(M=P\left(\begin{array}{cccccccc} \lambda&0 \\0&\overline{\lambda} \end{array} \right)P^{-1}\).
On en déduit :
\(M^n=P\left(\begin{array}{cccccccc} \lambda^n&0 \\0&\overline{\lambda}^n \end{array} \right)P^{-1}\).
Donc la matrice Mn admet les deux valeurs propres \(\lambda^n\) et \(\overline{\lambda}^n\).
Par suite 1 est valeur propre de Mn si et seulement si \(\lambda^n\) ou \(\overline{\lambda}^n\) est égal à 1, donc si et seulement si \(\lambda^n\) et \(\overline{\lambda}^n\) sont toutes deux égales à 1, donc si et seulement si \(M^n=PI_2P^{-1}=I_2\).
La condition nécessaire est suffisante que doit vérifiée \(\lambda\) pour que la relation \(M^n=I_2\) soit vérifiée est : \(\lambda^n=1\). Ceci est vérifié si et seulement si il existe un entier \(k\) tel que \(\lambda=\exp\left(\frac{2k}{n}i\pi\right)\).