Endomorphismes qui commutent
Durée : 15 mn
Note maximale : 10
Question
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension n sur \(\mathbf K\) (\(n>1\) et \(\mathbf K\) étant \(\mathbb R\) ou \(\mathbb C\)), et soient \(f\) et \(g\) des endomorphismes de \(E\).
On suppose que \(f\) et \(g\) ont chacun \(n\) valeurs propres distinctes.
Montrer que \(f\) et \(g\) commutent (c'est-à-dire \(f\bigcirc g=g\bigcirc f\)) si et seulement si \(f\) et \(g\) ont les mêmes vecteurs propres.
Solution
On montre que la condition « \(f\) et \(g\) commutent » est suffisante pour que \(f\) et \(g\) admettent les mêmes vecteurs propres.
On suppose donc que \(f\) et \(g\) commutent : \(f\bigcirc g=g\bigcirc f\).
Soit \(v\) un vecteur propre de \(f\) : il existe un scalaire \(\lambda\) de \(\mathbf K\) tel que \(f(v)=\lambda v\).
Donc \(g(f(v))=\lambda g(v)\).
Comme \(f\bigcirc g=g\bigcirc f, g(f(v))=f(g(v))\).
Par suite \(f(g(v))=\lambda g(v)\).
On a ainsi montré que \(g(v)\) appartient au sous-espace propre de \(f\) associé à la valeur propre \(\lambda\).
Or \(f\) a \(n\) valeurs propres distinctes, donc chaque sous-espace propre de \(f\) est de dimension 1 ; comme \(v\) est non nul et appartient au sous-espace propre de \(f\) associé à la valeur propre \(\lambda\), il en forme une base.
Puisque \(g(v)\) appartient au sous-espace propre de \(f\) associé à la valeur propre \(\lambda\), il est donc colinéaire à \(v\) :
il existe un scalaire \(\alpha\) de \(\mathbf K\) tel que \(g(v)=\alpha v\) :
Le vecteur \(v\) est un vecteur propre de \(g\).
Comme \(f\) et \(g\) ont des rôles identiques, on montre de même que tout vecteur propre de \(g\) est un vecteur propre de \(f\).
On montre que la condition « \(f\) et \(g\) commutent » est nécessaire pour que \(f\) et \(g\) admettent les mêmes vecteurs propres.
On suppose donc que \(f\) et \(g\) ont les mêmes vecteurs propres.
Comme \(f\) et \(g\) ont chacun \(n\) valeurs propres distinctes, ils sont diagonalisables, et la base de \(E\) formée de vecteurs propres de \(f\) est donc aussi une base de vecteurs propres de \(g\). Soit \((v_1,v_2,...,v_n)\) une telle base.
Il existe des scalaires \(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n\) tels que \(f(v_i)=\lambda_iv_i\), pour tout entier \(i,1\le i\le n\), et de même il existe des scalaires \(\mu_1,\mu_2,...,\mu_n\) tels que \(g(v_i)=\mu_iv_i\), pour tout entier \(i\), \(1\le i\le n\).
Alors pour tout \(i, 1\le i\le n\)
\(g(f(v_i))=g(\lambda_iv_i)=\lambda_ig(v_i)=\lambda_i\mu_iv_i\quad f(g(v_i))=f(\mu_iv_i)=\mu_if(v_i)=\lambda_i\mu_iv_i\)
Donc \(f\bigcirc g\) et \(g\bigcirc f\) étant égaux sur une base de \(E\), sont égaux sur tout élément de \(E\) :
\(f\bigcirc g=g\bigcirc f\)