Endomorphisme ou matrice diagonalisable

Cette ressource est composée de trois exercices.

Dans le premier exercice il s'agit de montrer qu'un endomorphisme de \(\mathbb R^4\) est diagonalisable.

Dans le deuxième exercice, un endomorphisme de \(\mathbb R^4\) est défini à l'aide de paramètres réels et on cherche une condition nécessaire et suffisante que doivent vérifier ces paramètres pour que l'endomorphisme soit diagonalisable.

Le troisième exercice est le calcul du polynôme caractéristique d'une matrice de \(M_n(\mathbf K)\).

• Prérequis indispensables :

  • Les propriétés d'un endomorphisme d'un \(\mathbf K\)-espace vectoriel, en particulier le théorème du rang.

  • Le cours sur les endomorphismes ou matrices diagonalisables.

• Objectifs :

  • Utiliser la définition d'une valeur propre d'un endomorphisme d'un \(\mathbf K\)-espace vectoriel.

  • Savoir calculer les valeurs propres d'un endomorphisme, déterminer ses sous-espaces propres.

  • Appliquer la condition nécessaire et suffisante de diagonalisation.

  • Calculer le polynôme caractéristique d'une matrice carrée d'ordre \(n\) en utilisant un raisonnement par récurrence.

• Temps de travail prévu : 55 minutes