Endomorphisme non injectif de R^4
Partie
Question
Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbb R^4\) dont la matrice par rapport à la base canonique \(B=(e_1,e_2,e_3,e_4)\) est \(A=(a_{i,j})_{\begin{array}{cccccc}1 < i < 4\\1\le j < 4\end{array}}\) où \(a_{i,j}=1\) pour tout \(i\) et pour tout \(j\) compris entre \(1\) et \(4\).
Montrer sans calculer le polynôme caractéristique que \(0\) est valeur propre de \(f\).
Montrer que le vecteur \(v=e_1+e_2+e_3+e_4\) est un vecteur propre de \(f\).
Montrer qu'il existe une base de \(\mathbb R^4\), formée de vecteurs propres de \(f\). Déterminer la matrice de \(f\) dans cette base.
Aide détaillée
1. Le réel \(0\) est valeur propre de \(f\) si et seulement si il existe un vecteur \(u\) non nul de \(\mathbb R^4\) tel que \(f(u)=0_{\mathbb R^4}\). L'endomorphisme \(f\) a donc \(0\) pour valeur propre si et seulement si \(f\) n'est pas bijectif.
3. Remarquer que le sous-espace propre associé à la valeur propre \(0\) est le noyau de \(f\). Utiliser ensuite le théorème du rang.
Solution détaillée
\(A=\left(\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{array}\right)\).
Le rang de \(A\) est égal à \(1\). L'endomorphisme \(f\) n'est donc pas bijectif et son noyau n'est pas réduit au vecteur nul. Il existe alors un vecteur non nul \(u\) de \(\mathbb R^4\) tel que \(f(u)=0_{\mathbb R^4}\). Donc \(0\) est valeur propre de \(f\).
Soit \(v=e_1+e_2+e_3+e_4\).
Comme \(f\) est linéaire \(f(v)=f(e_1)+f(e_2)+f(e_3)+f(e_4)=4(e_1+e_2+e_3+e_4)=4v\).
Comme \(v\) est non nul, \(4\) est une valeur propre de \(f\) et \(v\) est un vecteur propre associé à cette valeur propre.
Le sous-espace propre associé à la valeur propre \(0\) est le noyau de \(f\). D'après le théorème du rang, \(\textrm{dim Ker}f+\textrm{dim Im}f=\textrm{dim}\mathbb R^4=4\).
\(\textrm{dim Im}f=\textrm{rang }A=1\), d'où \(\textrm{dim Ker}f=3\).
Soit \((u_1,u_2,u_3)\) une base de \(\textrm{Ker}f\). Le vecteur \(v\) étant un vecteur propre associé à la valeur propre \(4\), les vecteurs \(u_1,u_2,u_3,v\) sont linéairement indépendants et forment une base de \(\mathbb R^4\). Il existe donc une base de \(\mathbb R^4\), formée de vecteurs propres de \(f\).
Pour déterminer une base de \(\textrm{Ker}f\), il suffit d'obtenir 3 vecteurs linéairement indépendants, appartenant à \(\textrm{Ker}f\).
On sait que \(f(e_1)=f(e_2)=f(e_3)=f(e_4)\).
D'où, \(f(e_1-e_2)=0_{\mathbb R^4}\), \(f(e_1-e_3)=0_{\mathbb R^4}\), \(f(e_1-e_4)=0_{\mathbb R^4}\).
Les vecteurs \(e_1-e_2, e_1-e_3, e_1-e_4\) appartiennent à \(\textrm{Ker}f\). Ils sont linéairement indépendants. En effet, soit \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\) trois réels :
\(\lambda_1(e_1-e_2)+\lambda_2(e_1-e_3)+\lambda_3(e_1-e_4)=0_{\mathbb R^4}\Leftrightarrow\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0\)
Soit \(u_1=e_1-e_2, u_2=e_1-e_3, u_3=e_1-e_4, (u_1,u_2,u_3)\) est une base de \(\textrm{Ker}f\) et \(B'=(u_1,u_2,u_3,v)\) est une base de \(\mathbb R^4\).
La matrice \(D\) de \(f\) dans la base \(B'\) est diagonale car \(B'\) est formée de vecteurs propres de \(f\).
\(D=\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&4\end{array}\right)\)
La matrice \(P\) de passage de la base \(B\) à la base \(B'\) est :
\(P=\left(\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\-1&0&0&1\\0&-1&0&1\\0&0&-1&1\end{array}\right)\) et \(A=PDP^{-1}\).