Polynôme minimal

Soit \(M\) une matrice carrée d'ordre \(n\) à coefficients dans un corps \(\mathbf K\quad(\mathbf K=\mathbb R\) ou \(\mathbf K=\mathbb C)\). Comme précédemment, on peut construire une application \(\Phi_M\) de \(\mathbf K[X]\) dans \(M_n(\mathbf K)\) de la façon suivante :

\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}\mathbf K[X]&\to&M_n(\mathbf K)\\P(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_kX^k&\to&a_0I_n+a_1M+\cdots+a_kM^k\end{array}}\)

\(I_n\) est la matrice unité d'ordre \(n\).

On montre, de la même manière, que \(\Phi_M\) est un morphisme d'anneau, que son noyau n'est pas réduit à \(0\). On le note \(\textrm{Ann}(M)\). Les éléments non nuls de cet idéal sont appelés les polynômes annulateurs de \(M\). Cet idéal est engendré par un polynôme, unique si on lui impose d'être unitaire. C'est le polynôme minimal de \(M\). On a alors la proposition suivante :

Soient \(M\) et \(N\) deux matrices semblables : il existe donc une matrice inversible \(Q\) de \(M_n(\mathbf K)\) telle que \(M=QNQ^{-1}\). Alors si \(P(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_kX^k\), il vient immédiatement :

\(P(M)=a_0I_n+a_1M+\cdots+a_kM^k=Q(a_0I_n+a_1N+\cdots+a_kN^k)Q^{-1}=QP(N)Q^{-1}\)

Il en résulte alors l'égalité \(\textrm{Ann}(M)=\textrm{Ann}(N)\), d'où le résultat.

Cette proposition permet d'établir un lien entre le polynôme minimal d'un endomorphisme et celui d'une matrice.

On a aussi, compte tenu des propriétés qui lient endomorphisme et matrice, la propriété :

\(\textrm{Ann}(M)=\textrm{Ann}(f)\)

où \(f\) est un endomorphisme d'un espace vectoriel \(E\) de dimension \(n\) et \(M\) la matrice de \(M_n(\mathbf K)\) associée à \(f\) par rapport à une base de \(E\).

Compte tenu de ces deux résultats, on a le théorème :

Ce résultat est très utile dans la pratique car il permet de choisir le point de vue, vectoriel ou matriciel, qui est le plus simple dans le contexte.