Propriétés [Polynôme minimal]

Propriétés

Les propriétés du polynôme minimal d'une partie relativement à un endomorphisme sont données par la proposition suivante :

Proposition : Propriétés du polynôme minimal d'une partie relativement à un endomorphisme

Soit $E$ un espace vectoriel de type fini et $f$ une application linéaire de $E$ dans lui-même.

Soient deux parties non vides $\Omega$ et $\Lambda$ de $E$ telles que $\Omega\subset\Lambda$ . Alors $P_{\textrm{min},f,\Omega}$ divise $P_{\textrm{min},f,\Lambda}$ .
Soit une partie non vide $\Omega$ de $E$ et Vect $(\Omega)$ le sous espace vectoriel de $E$ engendré par $\Omega$ . Alors $P_{\textrm{min},f,\Omega}=P_{\textrm{min},f,\textrm{Vect}(\Omega)}$ .
Soient deux parties non vides $\Omega$ et $\Lambda$ de $E$ , alors $P_{\textrm{min},f,\Omega\cup\Lambda}=\textrm{PPCM}(P_{\textrm{min},f,\Omega},P_{\textrm{min},f,\Lambda})$ .
Soient deux parties non vides $\Omega$ et $\Lambda$ de $E$ , alors $P_{\textrm{min},f,\Omega\cap\Lambda}$ divise $\textrm{PGCD}(P_{\textrm{min},f,\Omega},P_{\textrm{min},f,\Lambda})$ .

Démonstration : Preuve de la propriété 1.

D'après la définition de $P_{\textrm{min},f,\Lambda}$ , on a : $\forall x\in\Lambda,(P_{\textrm{min},f,\Lambda}(f))(x)=0$ .

Comme la partie $\Omega$ est incluse dans la partie $\Lambda$ on a en particulier :

$\forall x\in\Omega,(P_{\textrm{min},f,\Lambda}(f))(x)=0$ .

Donc $P_{\textrm{min},f,\Lambda}$ est un polynôme annulateur de $\Omega$ . D'après le théorème définition, il en résulte que $P_{\textrm{min},f,\Omega}$ divise $P_{\textrm{min},f,\Lambda}$ .

Démonstration : Preuve de la propriété 2.

D'une part, comme $\Omega$ est contenue dans Vect $(\Omega),P_{\textrm{min},f,\Omega}$ divise $P_{\textrm{min},f,\textrm{Vect}(\Omega)}$ d'après le résultat du 1.

D'autre part un élément de Vect( $\Omega$ ) est une combinaison linéaire d'éléments de $\Omega$ . Donc, si $g$ est un endomorphisme de $E$ tel que pour tout $x$ de $\Omega$ on ait $g(x)=0$ , alors on a : $\forall x\in\textrm{Vect}(\Omega),g(x)=0$ .

En appliquant ce résultat ici, il vient : $\forall x\in\textrm{Vect}(\Omega),(P_{\textrm{min},f,\Omega}(f))(x)=0$ . Le polynôme $P_{\textrm{min},f,\Omega}$ est donc un polynôme annulateur de Vect( $\Omega$ ) et par conséquent c'est un multiple de $P_{\textrm{min},f,\textrm{Vect}(\Omega)}$ .

Comme de plus, les polynômes $P_{\textrm{min},f,\Omega}$ et $P_{\textrm{min},f,\textrm{Vect}(\Omega)}$ sont unitaires, ils sont égaux.

Démonstration : Preuve de la propriété 3.

D'une part, comme $\Omega\subset\Omega\cup\Lambda$ et $\Lambda\subset\Omega\cup\Lambda$ , le résultat de la question 1. prouve que $P_{\textrm{min},f,\Omega}$ et $P_{\textrm{min},f,\Lambda}$ divisent $P_{\textrm{min},f,\Omega\cup\Lambda}$ .

Donc le PPCM de $P_{\textrm{min},f,\Omega}$ et $P_{\textrm{min},f,\Lambda}$ divise $P_{\textrm{min},f,\Omega\cup\Lambda}$ .

D'autre part, si $Q=\textrm{PPCM}(P_{\textrm{min},f,\Omega},P_{\textrm{min},f,\Lambda})$ , il existe un polynôme $Q_1$ tel que $Q=Q_1P_{\textrm{min},f,\Omega}$ et un polynôme $Q_2$ tel que $Q=Q_2P_{\textrm{min},f,\Lambda}$ .

D'où : $\forall x\in\Omega,(Q(f))(x)=Q_1(f)\bigcirc P_{\textrm{min},f,\Omega}(f)(x)=0$ .

De la même façon $\forall x\in\Lambda,(Q(f))(x)=Q_2(f)\bigcirc P_{\textrm{min},f,\Lambda}(f)(x)=0$ . Donc $\forall x\in\Omega\cup\Lambda,(Q(f))(x)=0$ . Donc le polynôme $Q=\textrm{PPCM}(P_{\textrm{min},f,\Omega},P_{\textrm{min},f,\Lambda})$ est un polynôme annulateur de $\Omega\cup\Lambda$ .

Par conséquent $\textrm{PPCM}(P_{\textrm{min},f,\Omega},P_{\textrm{min},f,\Lambda})$ est un multiple de $P_{\textrm{min},f,\Omega\cup\Lambda}$ . Comme ces deux polynômes unitaires sont multiples l'un de l'autre, ils sont égaux.

Démonstration : Preuve de la propriété 4.

Les inclusions $\Omega\cap\Lambda\subset\Omega$ et $\Omega\cap\Lambda\subset\Lambda$ et le résultat du 1., prouve que $P_{\textrm{min},f,\Omega\cap\Lambda}$ divise $P_{\textrm{min},f,\Omega}$ et $\Omega\cap\Lambda\subset\Lambda$ , et donc divise leur PGCD.

L'exemple suivant prouve que $P_{\textrm{min},f,\Omega\cap\Lambda}$ peut être différent de ce PGCD.

Exemple :

soit $E=\mathbb C^3$ et $f$ l'endomorphisme de $E$ dont la matrice dans la base canonique $B=(e_1,e_2,e_3)$ est égale à $\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right)$ .

L'observation de la matrice prouve que la seule valeur propre est 1 ; par conséquent, le polynôme minimal qui est scindé, puisque appartenant à , est de la forme $(X-1)^r$ avec $r$ supérieur ou égal à $1$ .

On considère $\Omega=\{e_1,e_2\}$ et $\Lambda=\{e_1,e_3\}$ . Alors $\Omega\cap\Lambda=\{e_1\}$ .

Comme $f(e_1)=e_1$ , le polynôme minimal de $\Omega\cap\Lambda$ est $X-1$ .

Cherchons le polynôme minimal de $\Omega=\{e_1,e_2\}$ . Pour cela, cherchons le polynôme minimal de $e_2$ . On a , $f(e_2)=e_1+e_2$ vecteur non colinéaire à $e_2$ , donc $e_2$ et $f(e_2)$ sont linéairement indépendants et il n'existe pas de polynôme annulateur de $e_2$ de degré inférieur ou égal à $1$ . Calculons $f^2(e_2)$ . Cela donne $f^2(e_2)=2e_1+e_2$ et donc $f^2(e_2)-2f(e_2)+e_2=0$ ; le polynôme $X^2-2X+1=(X-1)^2$ est donc le polynôme minimal annulateur de $e_2$ .

Par conséquent $(X-1)^2=\textrm{PPCM}(P_{\textrm{min},f,e_1},P_{\textrm{min},f,e_2})$ est le polynôme minimal de $\Omega=\{e_1,e_2\}$ .

Cherchons le polynôme minimal de $\Lambda=\{e_1,e_3\}$ . Pour cela il faut étudier le polynôme minimal de $e_3$ .

Le polynôme minimal de $e_3$ divise le polynôme minimal de $f$ , il est de la forme $(X-1)^q$ avec $1\leq q\leq r$ .

On a $f(e_3)=e_1+e_2+e_3$ , qui est différent de $e_3$ . Donc $X-1$ n'est pas un polynôme annulateur de $e_3$ . Calculons $f^2(e_3)$ . Cela donne $f^2(e_3)=3e_1+2e_2+e_3$ .

Les vecteurs $e_3,f(e_3),f^2(e_3)$ sont linéairement indépendants (leur déterminant dans la base canonique est non nul car $\textrm{det}_{B}(e_3,f(e_3),f^2(e_3))=\left|\begin{array}{ccc}0&1&3\\0&1&2\\1&1&1\end{array}\right|=-1$ ).

Donc $P_{\textrm{min},f,\beta_3}$ est de la forme $(X-1)^{q}$ avec $q\ge 3$ Donc le polynôme minimal de $\Lambda$ qui est le PPCM de $P_{\textrm{min},f,\beta_1}$ et de $P_{\textrm{min},f,\beta_3}$ est égal à $(X-1)^{q}$ avec $q\ge 3$ .

Par conséquent PGCD $(P_{\textrm{min},f,\Omega},P_{\textrm{min},f,\Lambda})=(X-1)^2$ et le polynôme minimal de l'intersection, $P_{\textrm{min},f,\Omega\cap\Lambda}$ , divise strictement le PGCD de $P_{\textrm{min},f,\Omega}$ et $P_{\textrm{min},f,\Lambda}$ .

Cas particulier : cas d'un singleton

$\Omega=\{x\}$

On note $P_{\textrm{min},f,\{x\}}=P_{\textrm{min},f,x}$ .

Soit $x$ un élément non nul de $E$ . Pour trouver le polynôme minimal de $x$ , on regarde si $\{x,f(x)\}$ est une partie libre de $E$ .

Si ce n'est pas une partie libre, il existe deux éléments $a$ et $b$ de $\mathbf K$ non tous les deux nuls tels que $ax+bf(x)=0$ . Nécessairement $b$ est non nul (sinon on aurait $ax=0$ avec $a$ et $x$ non nuls). Donc il existe une relation de la forme $\alpha x+f(x)=0$ . Cela prouve que le polynôme $\alpha+X$ est un polynôme annulateur unitaire de $x$ relatif à $f$ , c'est celui de plus bas degré donc c'est $P_{\textrm{min},f,x}$ .

Si c'est une partie libre, on regarde si la partie $\{x,f(x),f^2(x)\}$ est libre ou non et on reprend le même raisonnement. Le processus s'arrête au plus tard pour la partie $\{x,f(x),f^2(x),\cdots,f^{\textrm{dim}E}(x)\}$ qui est liée puisque c'est une partie de $E$ ayant un nombre d'éléments égal à (dim $E)+1$ . Cette remarque conduit donc à la propriété suivante

Propriété : Degré du polynôme minimal d'un élément

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $f$ une application linéaire de $E$ dans lui-même.

Soit $x$ un élément de $E$ . Le polynôme minimal de $x$ relativement à $f$ est de degré inférieur ou égal à $n$ , dimension de l'espace $E$ .

Exemple :

Reprenons l'exemple précédent. On est dans un espace de dimension $3$ , donc les quatre vecteurs $e_3,f(e_3),f^2(e_3),f^3(e_3)$ sont des vecteurs liés et le degré du polynôme minimal de $e_3$ est égal à $3$ . Donc $q=3$ et $P_{\textrm{min},f,e_3}=(X-1)^3$ .
Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb R^3$ dont la matrice dans la base canonique $B=(e_2,e_2,e_3)$ est $M=\left(\begin{array}{ccc}1&1&-1\\0&1&0\\1&1&0\end{array}\right)$ . Soit à calculer le polynôme minimal du vecteur $e_1=(1,0,0)$ . On a $f(e_1)=e_1+e_3$ . Il est clair que $e_1$ et $f(e_1)$ sont linéairement indépendants. Calculons $f^2(e_1)$ . On a :
$f^2(e_1)=f(e_1+e_3)=e_1+e_3-e_1=e_3$ .
Il apparaît immédiatement que $f(e_1)=e_1+f^2(e_1)$ . Donc les vecteurs $e_1,f(e_1),f^2(e_1)$ sont linéairement dépendants. Cela prouve que : $P_{\textrm{min},f,e_1}(X)=X^2-X+1$ .

Théorème : Polynôme minimal et polynôme minimal des éléments d'une base

Soit $E$ un espace vectoriel de type fini, $B=(e_1,e_2,\cdots,e_n)$ une base de $E$ et $f$ une application linéaire de $E$ dans lui-même. Alors :

$P_{\textrm{min},f}=\textrm{PPCM}(P_{\textrm{min},f,\beta_1},\cdots,P_{\textrm{min},f,\beta_n})$

Cela résulte immédiatement de l'égalité :

$E=\textrm{Vect}(\textrm{Vect}(\{e_1\})\cup\textrm{Vect}(\{e_2\})\cup\cdots\cup\textrm{Vect}(\{e_n\}))$

et des propriétés 2. et 3. de la proposition.

Exemple :

Soit à déterminer le polynôme minimal de la matrice $M$ d'ordre $n\quad(n\ge 2)$ dont tous les coefficients sont égaux à $1$ autrement dit $M=\left(\begin{array}{ccc}1&\cdots&1\\\vdots&\ddots&\vdots\\1&\cdots&1\end{array}\right)$ . Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb R^n$ admettant $M$ comme matrice par rapport à la base canonique $(e_1,e_2,\cdots,e_n)$ .

Pour tout $k$ entier compris entre $1$ et $n$ , on a $f(e_k)=e_1+e_2+\cdots+e_n$ . D'où $f^2(e_k)=f(e_1+e_2+\cdots+e_n)=n(e_1+e_2+\cdots+e_n)$ . D'où $f^2(e_k)=nf(e_k)$ .

Cela prouve que pour tout $k$ entier compris entre $1$ et $n$ , le polynôme $X^2-nX=X(X-n)$ est un polynôme annulateur de $e_k$ . Comme ni $X\quad(f(e_k)\neq0)$ ni $X-n\quad(f(e_k)\neq ne_k)$ ne sont des polynômes annulateurs de $e_k$ , alors pour tout $k$ entier compris entre $1$ et $n$ , le polynôme unitaire $X^2-nX=X(X-n)$ est le polynôme minimal de $e_k$ relativement à $f$ .

Alors $P_{\textrm{min},f}(X)=\textrm{PPCM}(P_{\textrm{min},f,e_k}(X),1\leq k\leq n)=X^2-nX$ . On en déduit que $f$ et donc $M$ est diagonalisable puisque son polynôme minimal est scindé et n'a que des racines simples.