Théorème de Cayley-Hamilton

Dans le premier exercice, on montre que l'application, qui à une matrice \(M\) de \(M_n(\mathbb C)\) fait correspondre la matrice \(AM-MB\), est un isomorphisme de \(M_n(\mathbb C)\), lorsque \(A\) et \(B\) sont deux matrices de \(M_n(\mathbb C)\) n'ayant pas de valeur propre commune.

Dans le deuxième exercice, on s'intéresse à l'inversibilité d'une matrice \(P(A)\) suivant que le polynôme \(P\) et le polynôme caractéristique de la matrice \(A\) sont ou ne sont pas premiers entre eux.

Dans le troisième exercice, on établit une propriété sur les noyaux de \(P^k(f)\), \(P\) étant un diviseur irréductible du polynôme caractéristique d'un endomorphisme \(f\).

• Prérequis indispensables :

  • Le calcul matriciel.

  • Les propriétés générales des polynômes.

  • La théorie générale de la diagonalisation.

  • Le théorème sur les facteurs irréductibles du polynôme caractéristique et du polynôme minimal.

  • Le théorème de Cayley-Hamilton.

  • Le lemme des noyaux.

• Temps de travail prévu : 70 minutes