Théorème de Cayley-Hamilton

D'aprés le théorème de Cayley-Hamilton, le polynôme minimal d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est un diviseur de son polynôme caractéristique et, de plus, le polynôme caractéristique et le polynôme minimal ont les mêmes facteurs irréductibles.

Le polynôme P(X) étant un diviseur irréductible de \(P_{\textrm{car},f}(X)\) et \(r\) le plus grand entier tel que \(P^r(X)\) divise \(P_{\textrm{car},f}(X)\), les polynômes \(P(X)\) et \(R(X)\) sont premiers entre eux. Par conséquent il existe des polynômes irréductibles \(P_1(X),\cdots,P_m(X)\) distincts de \(P(X)\), et des entiers non nuls \(n_1,\cdots,n_m\) tels que \(R(X)=P_1^{n_1}(X)\cdots P_m^{n_m}(X)\) et \(P_{\textrm{car},f}(X)=P^r(X)P_1^{n_1}\cdots P_m^{n_m}(X)\). Le polynôme minimal de \(f\) est un diviseur de son polynôme caractéristique et contient les mêmes facteurs irréductibles donc il existe des entiers non nuls \(s,n'_1,\cdots n'_m\) tels que \(0<s\le r, 0<n'_1\le n_1,\cdots,0<n'_m\le n_m\) et \(P_{\textrm{min},f}(X)=P^s(X)P_1^{n'_1}(X)\cdots P_m^{n'_m}(X)\). En posant \(S(X)=P_1^{n'_1}(X)\cdots P_m^{n'_m}(X)\), on a obtenu un polynôme \(S(X)\) divisant \(R(X)\) et un entier \(s\) compris entre \(1\) et \(r\) tels que :

\(P_{\textrm{min},f}(X)=P^s(X)S(X)\).

Comme \(1\le s\le r\), le polynôme \(P^s(X)\) est un diviseur du polynôme \(P^r(X)\), de même le polynôme \(S(X)\) est un diviseur du polynôme \(R(X)\). Ceci permet d'établir que \(\textrm{ker }P^s(f)\subset\textrm{ker }P^r(f)\) et \(\textrm{ker }S(f)\subset\textrm{ker }R(f)\).

En effet si \(U(X)\) et \(V(X)\) sont deux polynômes non nuls tels que \(U(X)\) soit un diviseur de \(V(X)\), alors \(\textrm{ker }U(f)\subset\textrm{ker }V(f)\). Pour montrer ceci il suffit de remarquer qu'il existe un polynôme \(Q(X)\) tel que \(V(X)=Q(X)U(X)\) et on a :

\(V(f)=Q(f)\bigcirc U(f)\).

Si \(x\in\textrm{ker }U(f)\), on obtient :

\(V(f)(x)=Q(f)[U(f)(x)]=Q(f)(0_E)=0_E\),

donc \(x\in\textrm{ker }V(f)\). Ceci prouve que \(\textrm{ker }U(f)\subset\textrm{ker }V(f)\).

Comme les polynômes \(P(X)\) et \(R(X)\) sont premiers entre eux, toute puissance de \(P(X)\) est premier avec tout diviseur de \(R(X)\). En particulier les polynômes \(P^r(X)\) et \(R(X)\) sont premiers entre eux, ainsi que les polynômes \(P^s(X)\) et \(S(X)\). De plus comme \(P^r(X)R(X)\) et \(P^s(X)S(X)\) sont les polynômes caractéristique et minimal de \(f\), ce sont des polynômes annulateurs de \(f\). Par conséquent le lemme des noyaux donne :

\(E=\textrm{ker }P^s(f)\oplus\textrm{ker }S(f)\) et \(E=\textrm{ker }P^r(f)\oplus\textrm{ker }R(f)\),

et on a : \(\textrm{dim }(\textrm{ker }P^s(f))+\textrm{dim }(\textrm{ker }S(f))=\textrm{dim }(\textrm{ker }P^r(f))+\textrm{dim }(\textrm{ker }R(f))\quad(*)\).

On a montré dans la question précédente que :

\(\textrm{ker }P^s(f)\subset\textrm{ker }P^r(f)\) et \(\textrm{ker }S(f)\subset\textrm{ker }R(f)\),

par conséquent :

\(\textrm{dim }(\textrm{ker }P^s(f))\le\textrm{dim }(\textrm{ker }P^r(f))\) et \(\textrm{dim }(\textrm{ker }S(f))\le\textrm{dim }(\textrm{ker }R(f))\)

et l'égalité \((*)\) ne peut avoir lieu que si :

\(\textrm{dim }(\textrm{ker }P^s(f))=\textrm{dim }(\textrm{ker }P^r(f))\) et \(\textrm{dim }(\textrm{ker }S(f))=\textrm{dim }(\textrm{ker }R(f))\).

On a obtenu

\(\left\{\begin{array}{lllll}\textrm{ker }P^s(f)\subset\textrm{ker }P^r(f)\\\textrm{dim }(\textrm{ker }P^s(f))=\textrm{dim }(\textrm{ker }P^r(f))\end{array}\right.\) et \(\left\{\begin{array}{lllllll}\textrm{ker }S(f)\subset\textrm{ker }R(f)\\\textrm{dim }(\textrm{ker }S(f))=\textrm{dim }(\textrm{ker }R(f))\end{array}\right.\)

donc \(\textrm{ker }P^s(f)=\textrm{ker }P^r(f)\) et \(\textrm{ker }S(f)=\textrm{ker }R(f)\).

Soit \(t\) un entier tel que \(1\le t\le s\) vérifiant l'égalité :

\(\textrm{ker }P^t(f)=\textrm{ker }P^s(f)\),

et \(T(X)\) le polynôme défini par \(T(X)=P^t(X)S(X)\). On veut démontrer que \(T(X)\) est un polynôme annulateur de \(f\) et prouver ainsi que \(t=s\).

D'après la question précédente on a :

\(E=\textrm{ker }P^s(f)\oplus\textrm{ker }S(f)\),

et tout vecteur \(u\in E\) s'écrit de manière unique sous la forme :

\(u=u_1+u_2, u_1\in\textrm{ker }P^s(f),u_2\in\textrm{ker }S(f)\).

Pour \(u_1\in\textrm{ker }P^s(f)\) on a :

\(T(f)(u_1)=P^t(f)\bigcirc S(f)(u_1)=S(f)[P^t(f)(u_1)]\),

or \(\textrm{ker }P^t(f)=\textrm{ker }P^s(f)\), donc \(P^t(f)(u_1)=0_E\) et \(T(f)(u_1)=0_E\).

Pour \(u_2\in\textrm{ker }S(f)\) on a

\(T(f)(u_2)=P^t(f)\bigcirc S(f)(u_2)=P^t(f)[S(f)(u_2)]\),

or \(S(f)(u_2)=0_E\), donc \(T(f)(u_2)=0_E\).

On a démontré que pour tout vecteur \(u_1\in\textrm{ker }P^s(f)\) et tout vecteur \(u_2\in\textrm{ker }S(f)\) :

\(T(f)(u_1+u_2)=T(f)(u_1)+T(f)(u_2)=0_E\),

donc pour tout vecteur \(u\) de \(E\), \(T(f)(u)=0_E\). Ceci prouve que \(T(X)\) est un polynôme annulateur de \(f\). Or tout polynôme annulateur de \(f\) est divisible par le polynôme minimal de \(f\). Comme \(P_{\textrm{min},f}(X)=P^s(X)S(X)\) et que \(T(X)=P^t(X)S(X)\) avec \(1\le t\le s\), le polynôme \(P_{\textrm{min},f}(X)\) divise le polynôme \(T(X)\) si et seulement si \(t=s\).

Par conséquent si l'entier naturel \(t\) est strictement plus petit que \(s\), alors \(\textrm{ker }P^t(f)\ne\textrm{ker }P^s(f)\).

Or on a montré dans la question précédente que \(\textrm{ker }P^s(f)=\textrm{ker }P^r(f)\),

donc \(s\) est le plus petit entier \(k\) tel que \(\textrm{ker }P^k(f)=\textrm{ker }P^r(f)\).

Remarque : lorsque \(P(X)=X-\lambda\) est un polynôme de degré 1, le sous espace défini par \(\textrm{ker }P^r(f)=\textrm{ker }\left((f-\lambda\textrm{Id}_E)^r\right)\) s'appelle le sous-espace caractéristique associé à la valeur propre \(\lambda\). Il contient le sous espace propre associé à la valeur propre \(\lambda\) mais il est en général distinct. Ces deux sous-espaces sont égaux si et seulement si \(s=1\).