Théorème fondamental
Théorème : Condition nécessaire et suffisante de convergence.
Soit \((u_n)\) une suite de termes positifs ou nuls. La série \(\sum u_n\) est convergente si et seulement si la suite \((s_n)\)des sommes partielles est majorée.
La somme de la série \(s=\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}u_n\) est alors égale à la borne supérieure de l'ensemble des réels \(s_n\), \(n\in N\), et on a, pour tout entier n : \(\displaystyle{\sum_{k=0}^n}u_k\leq s\).
Preuve :
La suite \((s_n)\) étant croissante, elle est convergente si et seulement si elle est majorée. Sa limite est alors la borne supérieure de l'ensemble \(\{s_n,n\in N\}\) et, pour tout entier \(n\), \(\displaystyle{\sum_{k=0}^n}u_k\leq s\).
Remarque : et convention d'écriture
Dans le cas des séries à termes positifs, la suite \((s_n)\) est croissante et
la série est convergente si et seulement si la suite \((s_n)\) est majorée. On écrit alors :
\(\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}u_n<+\infty\)
la série est divergente si et seulement si la suite \((s_n)\) n'est pas majorée, elle tend alors vers . On écrit
\(\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}u_n=+\infty\)
Il convient de ne pas abuser de ces notations qui sont uniquement symboliques et ne s'utilisent que pour les séries à termes positifs.