Rayon et disque de convergence

On considère deux séries entières \(\sum a_nz^n\) et \(\sum b_nz^n\) de rayon de convergence respectifs \(R_1\) et \(R_2\). La somme et le produit de ces séries entières ont un rayon de convergence au moins égal à \(min(R_1,R_2)\) et pour \(z\) vérifiant \(|z|<min(R_1,R_2)\), on a :

\(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(a_n+b_n)z^n = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n + \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_nz^n\)

\(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}a_kb_{n-k}\right)z^n=\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n\right)\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}b_nz^n\right)\).

Pour \(z\) vérifiant \(|z|<min(R_1,R_2)\), les séries \(\sum a_nz^n\) et \(\sum b_nz^n\) sont absolument convergentes et les égalités traduisent l'expression de la somme et du produit des séries \(\sum a_nz^n\) et \(\sum b_nz^n\).

On peut préciser. On note respectivement \(c_n\) et \(d_n\) les coefficients de la somme et du produit des séries entières \(\sum a_nz^n\) et \(\sum b_nz^n\), \(\rho\) et \(\rho'\)leur rayon de convergence.

Pour la somme de deux séries entières

Si \(R_1\neq R_2\), on a \(\rho=min(R_1,R_2)\). Supposons, par exemple \(R_1>R_2\). On a \(min(R_1,R_2)=R_2\) et donc \(\rho \geq R_2\). En écrivant : \(\forall n\geq 0, b_n=c_n-a_n\), on déduit \(R_2\geq min(\rho,R_1)\), d'où \(R_2\geq \rho\) et donc \(R_2=\rho\).

Dans le cas \(R_1=R_2\), on peut avoir \(\rho > R_1=R_2\). Considérons par exemple les deux séries entières définies par la suite de leurs coefficients : \(a_n=1+2^n\) et \(b_n=1-2^n\). On a immédiatement :

\(R_1=R_2=\frac12\) et \(\rho = 1\).

Pour le produit de deux séries entières

Même dans le cas \(R_1\neq R_2\), on peut avoir \(\rho'> min(R_1,R_2)\). Considérons par exemple les deux séries entières définies par la suite de leurs coefficients :

\(\forall n \in N, a_n =1\) et \(b_0=1,b_1=-1\) et \(\forall n \geq 2, b_n=0\). On a alors \(R_1=1, R_2=+\infty\) et, pour la série produit, \(d_0=1\) et \(\forall n\geq 1,d_n=0\), d'où \(\rho'=+\infty\)