Propriétés de la somme d'une série entière à l'intérieur du disque de convergence

Soit \(\sum a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence \(R\) non nul. La somme \(S\) de la série entière, définie dans le disque \(D(0,R)\) de convergence par \(S(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n\), est continue dans tout le disque de convergence.

La série entière \(\sum a_nz^n\) converge uniformément dans tout disque fermé \(\overline{D}(0,\rho)\) avec \(0<\rho<R\). Donc si \(z\) est un point quelconque du disque \(D(0,R)\), il vérifie \(|z|<R\) et il existe donc un réel \(\rho\) vérifiant \(|z|<\rho<R\). Alors le point \(z\) appartient au disque fermé \(\overline{D}(0,\rho)\) et la fonction \(S\) est continue en \(z\).